解析力学を１記事でながめる

現実の経路を\(\boldsymbol{q}(t)\)として、ここから任意に微小ずれた仮想の経路を\(\boldsymbol{q}(t)+\delta \boldsymbol{q}(t)\)と表す。なお、経路がずれると当然それに伴って速度も\(\dot{\boldsymbol{q}}(t)\)から \(\dot{\boldsymbol{q}}(t)+\delta\dot{\boldsymbol{q}}(t)\)へと変化する。
ここで、極限の定義を考えると、
$$
\delta \left( \frac{d}{dt} \boldsymbol{q}(t) \right) = \delta\dot{\boldsymbol{q}}(t) = \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{\left( \boldsymbol{q}(t_2)+\delta \boldsymbol{q}(t_2) \right) – \left( \boldsymbol{q}(t_1)+\delta \boldsymbol{q}(t_1) \right)}{t_2-t_1} – \frac{\boldsymbol{q}(t_2) – \boldsymbol{q}(t_1)}{t_2-t_1} \right) = \frac{d}{dt}\delta \boldsymbol{q}(t)
$$より、変分の時間微分と時間微分の変分が等しいことがわかる。

さて、経路が\(\delta \boldsymbol{q}(t)\)だけずれたときの作用\(S\)の変分
$$
\delta S=\int_{t_i}^{t_f} L(\boldsymbol{q}+\delta \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}+\delta \dot{\boldsymbol{q}}, t) dt-\int_{t_i}^{t_f}L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) dt
$$を計算する。偏微分を用いて微小項の１次まで展開すると、変分の時間微分と時間微分の変分が等しいことを用いて、
$$
\delta S=\int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta\dot{q}_i \right) dt = \int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left\{ \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \left( \frac{d}{dt} \delta q_i \right) \right\}
$$第２項を部分積分を用いて展開すると、主張２.３の前提として始点と終点における変分\(\delta \boldsymbol{q}(t_i)\), \(\delta \boldsymbol{q}(t_f)\)はゼロになるから、
$$
\int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left\{ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \left(\frac{d}{dt} \delta q_i \right) \right\} dt = \sum_{i=1}^N \left\{ \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_i}^{t_f} – \int_{t_i}^{t_f} \left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} \right) \delta q_i \right\} dt = \int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left\{ \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right\} dt
$$とかける。主張２.３より\(\delta S=0\)であるから、
$$
\int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right\} dt =0
$$ここで数学的に、変分法の基本補題より、それぞれ始点と終点以外ではどんな形でも自由に選べる任意のズレである\(\delta q_i(t)\)に対して、どんな\(\delta q_i(t)\)を掛け算して積分しても結果が常にゼロになることと、カッコの中身の関数自体が常にゼロであることは同値だから、\(i=1,2,…,N\)に対して以下が成り立つ。
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} =0
$$□

ラグランジアンを\(\tilde{L}\)としたときの左辺を変形する。第１項および第２項は、
$$
\text{第１項}=\frac{\partial}{\partial q_i} \left( L+\frac{dG}{dt} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i}+ \frac{\partial}{\partial q_i} \left\{ \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial G}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} \right) + \frac{\partial G}{\partial t} \frac{dt}{dt} \right\} = \frac{\partial L}{\partial q_i} + \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} + \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial t}
$$$$
\text{第２項}= \frac{d}{dt} \left\{ \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \left( L+\frac{dG}{dt} \right) \right\} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \frac{d}{dt} \frac{\partial \dot{G}}{\partial \dot{q}_i} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \frac{d}{dt} \frac{\partial G}{\partial q_i} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} + \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial t}
$$のようになる。ただし、２式目の３つめの等号は、以下の関係を利用している。
$$
\frac{\partial \dot{G}}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial G}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial G}{\partial t} \right) = \frac{\partial G}{\partial q_i}
$$したがって、元の式の左辺に代入すると、
$$
\text{左辺}= \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} + \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} + \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial t} \right) – \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial t} + \frac{\partial^2 G}{\partial q_i \partial t} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
$$となるから、ラグランジアンを\(L\)としたときと\(\tilde{L}\)としたときで、オイラーラグランジュ方程式は等価であることが示された。□

まず、一般化座標が\(q_i \to q_i + \delta q_i\)と変化したときのラグランジアン \(L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)\)の変分\(\delta L\)を、テイラー展開の１次の項まで書き下す。ここで、極限の定義より、
$$
\delta \left( \frac{d}{dt} \boldsymbol{q}(t) \right) = \delta\dot{\boldsymbol{q}}(t) = \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{\left( \boldsymbol{q}(t_2)+\delta \boldsymbol{q}(t_2) \right) – \left( \boldsymbol{q}(t_1)+\delta \boldsymbol{q}(t_1) \right)}{t_2-t_1} – \frac{\boldsymbol{q}(t_2) – \boldsymbol{q}(t_1)}{t_2-t_1} \right) = \frac{d}{dt}\delta \boldsymbol{q}(t)
$$となるから、変分の時間微分と時間微分の変分が等しいことに注意すると、
$$
\delta L = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{d}{dt}(\delta q_i) \right] = \sum_{i=1}^N \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right)
$$となる。ただし、２つ目の等号は系が現実の物理法則に従って運動している、つまり、オイラー=ラグランジュ方程式を満足すること、３つ目の等号は大カッコ\([\quad]\)の中身に積の微分公式を用いた。

ここで、いま定理２.６の仮定より、ラグランジアンの変分\(\delta L\)がある関数\(J\)の時間による全微分でかけることを用いると、
$$
\frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) = \frac{d}{dt} J
$$となるので、移項して、
$$
\frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i – J \right) = 0
$$とかくことができる。ある量の時間微分がゼロになるということは、その量が時間的に変化しない定数であることを意味するため、示された。□

停留作用の原理より、ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)\)は現実に力学系が通過する軌道\(\boldsymbol{q}(t)\)に対して、\(S=\int_{t_i}^{t_f} L dt\)の変分\(\delta S\)をゼロにする量として定義されていた。これより、ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)\)の変分を計算し、この証明のときと同様に\(\delta \dot{q}_i\)の項を部分積分すると、次の式が得られる。
$$
\int_{t_i}^{t_f} \sum_{i=1}^N \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right\} dt =0
$$もし\(N\)個の変数\(q_i\)がすべて互いに独立に動けるのであれば、変分法の基本補題よりカッコの中身がそれぞれ０になり通常のオイラー＝ラグランジュ方程式が得られるが、ここでは\(M\)個の拘束条件により各\(\delta q_i\)は独立して動くことができないため、カッコの中身がそれぞれ０とはいえない。ただ、積分の中身について、
$$
\sum_{i=1}^N \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right\} =0 \qquad \text{(a)}
$$であることは成り立つ。ここで、\(\boldsymbol{x}\)として、
$$
\boldsymbol{x}= {}^t \left( \frac{\partial L}{\partial q_1} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} , \frac{\partial L}{\partial q_2} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_2} , … , \frac{\partial L}{\partial q_N} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_N} \right)
$$を定義すると、(a)式は\(\boldsymbol{x} \cdot \delta \boldsymbol{q} = 0\)と書き換えることができる。
ここで、系の\(M\)個の拘束条件\(G_j(\boldsymbol{q}, t)=0 \quad (j=1,2,…,M)\)について、軌道が\(\delta q_i\)だけズレた仮想的な経路でも、この拘束条件は満たされていなければならないため、時間を固定して\(G_j\)の変分をとると、
$$
\delta G_j = G_j(\boldsymbol{q} + \delta \boldsymbol{q} , t) – G_j(\boldsymbol{q}, t) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G_j}{\partial q_i} \delta q_i = 0 \qquad (j=1,2,…,M)
$$とならねばならない。これは\(\nabla_{\boldsymbol{q}} G_j \cdot \delta \boldsymbol{q} = 0\)と書き換えることができる。

以上より、\(\nabla_{\boldsymbol{q}} G_j \cdot \delta \boldsymbol{q} = 0\)のもとで自由に動く微小の経路変化\(\delta \boldsymbol{r}\)が、\(\boldsymbol{x} \cdot \delta \boldsymbol{q} = 0\)を満たすような\(\boldsymbol{x}\)の条件さえ求めればよいが、この条件は\(\boldsymbol{x}\)が\(\{ \nabla_{\boldsymbol{q}} G_j \}_{i=1}^N\)によって張られる部分空間の元であること、すなわち、
$$
\boldsymbol{x} = \sum_{j=1}^M \lambda_j \nabla_{\boldsymbol{q}} G_j
$$なる時間\(t\)の関数の組\(\{\lambda_j(t) \}_{j=1}^M \)が存在することである。よって、この各成分をみると示されている。□

先に準備として(a),(b),(c),(d),(e)式を与える。
まず変数消去で消える座標\(Q_k\)は座標\(\boldsymbol{q}\)と時間\(t\)の関数\(Q_k(\boldsymbol{q}, t)\)として表されるので、これを時間で微分すると、速度\(\dot{Q}_k\)は合成関数の微分より、
$$
\dot{Q}_k = \frac{d Q_k}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial Q_k}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial Q_k}{\partial t} \frac{dt}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial Q_k}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial Q_k}{\partial t}
$$とかける。この\(\dot{Q}_k\)を\(\dot{q}_i\)以外を定数とみなして偏微分すると、\(Q_k\)は\(\boldsymbol{q}\)と時間\(t\)の関数であるため、\(\frac{\partial Q_k}{\partial q_j}\)や\(\frac{\partial Q_k}{\partial t}\)は\(\dot{\boldsymbol{q}}\)を引数に含まないから、合成関数の微分より、
$$
\frac{\partial \dot{Q}_k}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial Q_k}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial Q_k}{\partial t} \right) = \frac{\partial Q_k}{\partial q_j} \qquad \text{(a)}
$$が成り立つ。続いて、拘束条件\(G_j(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t) = 0\)を解いて得られた\(\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, t)\)を元の式に代入した恒等式\(\tilde{G}_j(\boldsymbol{q}, t) = G_j(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, t), t) = 0\)について、この両辺を独立変数\(q_i\)で偏微分すると、合成関数の微分を用いて、
$$
\frac{\partial \tilde{G}_j}{\partial q_i} = \frac{\partial G_j}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^M \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} = 0 \qquad \text{(b)}
$$となる。次に、変数を消去したラグランジアン\(\tilde{L}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q},t), \dot{\boldsymbol{Q}}(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t), t)\)についても\(q_i\)と \(\dot{q}_i\)でそれぞれ偏微分すると、合成関数の微分を用いて、
$$
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^M \left( \frac{\partial L}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} \frac{\partial \dot{Q}_k}{\partial q_i} \right) \qquad \text{(c)}
$$$$
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{k=1}^M \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} \frac{\partial \dot{Q}_k}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \sum_{k=1}^M \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} \qquad \text{(d)}
$$となる。ただし、(d)式の１つ目の等号は\(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q},t)\)は速度\(\dot{\boldsymbol{q}}\)には依存しないため、\(\frac{\partial Q_k}{\partial \dot{q}_i}=0\)であること、２つ目の等号は(a)式を用いている。(d)式をさらに時間\(t\)で全微分すると、積の微分公式を用いて、
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) + \sum_{k=1}^M \left[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k}\right) \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial Q_k}{\partial q_i}\right) \right] \qquad \text{(e)}
$$となっている。さて、式(a),(b),(c),(d),(e)を与えたので証明に入る。定理２.12の式から定理２.13の式が矛盾なく出てくることを示す。

定理２.12は、すべての変数(\(q_i\)と\(Q_k\))に対して
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{j=1}^M \lambda_j \frac{\partial G_j}{\partial q_i} \qquad \text{(f)}
$$$$
\frac{\partial L}{\partial Q_k} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} = \sum_{j=1}^M \lambda_j \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \qquad \text{(g)}
$$が成り立つことを主張している。ここから定理２.13の式が矛盾なく出てくることを示すために、(c)式と(e)式を引き算して\(\tilde{L}\)のオイラー＝ラグランジュ方程式の左辺を計算すると、
$$
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial q_i} – \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) = \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) + \sum_{k=1}^M \left( \frac{\partial L}{\partial Q_k} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_k} \right) \frac{\partial Q_k}{\partial q_i}
$$となる。右辺に(f)式と(g)式を代入することで、
$$
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial q_i} – \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) = \sum_{j=1}^M \lambda_j \frac{\partial G_j}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^M \left( \sum_{j=1}^M \lambda_j \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \right) \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} = \sum_{j=1}^M \lambda_j \left[ \frac{\partial G_j}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^M \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} \right] = 0
$$となっている。ただし、３つ目の等号は(b)式を用いた。これは定理２.13の\(\tilde{L}\)のオイラー＝ラグランジュ方程式そのものであるから、示された。□

\(k \ne j_1,j_2,…,j_n\)と\(l = j_1,j_2,…,j_n\)に対して、ラウシアン\(R = L – \sum_l p_l \dot{q}_l\)の全微分\(dR\)は、
\begin{align*}
dR &=dL – \sum_l (dp_l \dot{q}_l + p_l d\dot{q}_l) \\
&= \left( \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k} dq_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} d\dot{q}_k + \sum_l \frac{\partial L}{\partial q_l} dq_l + \sum_l \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_l} d\dot{q}_l + \frac{\partial L}{\partial t} dt \right) – \left( \sum_l (dp_l \dot{q}_l + p_l d\dot{q}_l) \right) \\
&= \left( \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k} dq_k + \sum_k p_k d\dot{q}_k + \sum_l \frac{\partial L}{\partial q_l} dq_l + \sum_l p_l d\dot{q}_l + \frac{\partial L}{\partial t} dt \right) – \left( \sum_l (dp_l \dot{q}_l + p_l d\dot{q}_l) \right) \\
&= \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k} dq_k + \sum_k p_k d\dot{q}_k + \sum_l \frac{\partial L}{\partial q_l} dq_l – \sum_l \dot{q}_l dp_l + \frac{\partial L}{\partial t} dt \qquad \text{(a)}
\end{align*}とかける。ただし、３つ目の等号は一般化運動量の定義を用いている。一方で、\(R\)の形式的な全微分を書き下すと、
$$
dR = \sum_k \frac{\partial R}{\partial q_k} dq_k + \sum_k \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_k} d\dot{q}_k + \sum_l \frac{\partial R}{\partial q_l} dq_l + \sum_l \frac{\partial R}{\partial p_l} dp_l + \frac{\partial R}{\partial t} dt \quad \cdots \text{(b)}
$$とかけるから、(a)式と(b)式で各微小変化\(dq, d\dot{q}, dp\)の係数を比較して、\(k \ne j_1,j_2,…,j_n\)に対しては、以下が成り立つ。
$$
\frac{\partial R}{\partial q_k} = \frac{\partial L}{\partial q_k} \qquad \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_k} = p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \qquad \text{(c)}
$$\(l = j_1,j_2,…,j_n\)に対しては、以下が成り立つ。
$$
\frac{\partial R}{\partial q_l} = \frac{\partial L}{\partial q_l} \qquad \frac{\partial R}{\partial p_l} = -\dot{q}_l \qquad \text{(d)}
$$
もとのラグランジアン\(L\)ではすべての変数に対してオイラー・ラグランジュ方程式が成り立っているから、\(k \ne j_1,j_2,…,j_n\)に対しては、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_k} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_k} \right) – \frac{\partial R}{\partial q_k} = 0
$$が成り立つ。ただし、１つめの等号で(c)式を用いている。また、\(l = j_1,j_2,…,j_n\)に対しては
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_l} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_l} = \frac{d}{dt} p_k – \frac{\partial R}{\partial q_l} = 0
$$が成り立つ。ただし、１つ目の等号で(d)式の１式目と、一般化運動量の定義を用いている。\(\frac{\partial R}{\partial p_l} = – \dot{q}_l\)は(d)式の２式目そのものであるので、以上より示された。□

位相空間上の時間発展の速度ベクトルは\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})\)であるが、正準方程式\(\dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i= -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)より、\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})=(\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)として示された。□

位相空間上の時間発展の速度ベクトル\((\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)と、位相空間上のハミルトニアンの勾配\((\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H)\)の内積をとると、\(\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) – \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) = 0\)より示された。□

時刻\(t\)を直接の変数として含まないハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)の時間による全微分は、合成関数の微分より、
$$
\frac{dH}{dt} = \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \dot{q}_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i = (\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H) \cdot (\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}}) = (\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H) \cdot (\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H) = \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) – \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) = 0
$$となる。ただし、３つ目の等号は、正準方程式に従う運動において\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})=(\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)とかけることを用いた。ハミルトニアンの時間微分がゼロであることは、ハミルトニアンが時間変化に対して保存するということを意味するので、示された。□

位相空間上の速度ベクトル場\((\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)の発散をとると、以下のように示される。
$$
\nabla \cdot \begin{pmatrix} \nabla_{\boldsymbol{p}}H \\ -\nabla_{\boldsymbol{q}}H \end{pmatrix} = \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) – \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) = 0
$$□

いま位相空間内の微小超直方体領域\(D\)として、
$$
[q_1, q_1+\delta q_1] \times [q_2, q_2+\delta q_2] \times … [q_N, q_N+\delta q_N] \times [p_1, p_1+\delta p_1] \times [p_2, p_2+\delta p_2] \times … [p_N, p_N+\delta p_N]
$$を考えたとき、正準方程式にしたがう\(\delta t\)秒間の時間発展によってこの領域の形状は変化するが、位相空間における超体積は変化しないことを示せばよい。位相空間の座標について\(\boldsymbol{x} = (q_1,…, q_N, p_1,…, p_N)\)とおき、また各点での位相空間上の速度ベクトルを\(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) = (\dot{q}_1,…, \dot{q}_N, \dot{p}_1, …, \dot{p}_N)\)とかくこととする。さて、正準方程式にしたがう\(\delta t\)秒間の時間発展によって、
はじめ\(\boldsymbol{x}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})\delta t\)に、
はじめ\(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j})\delta t = \boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j} + \left( \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_j}\delta q_j \right)\delta t\)に、
はじめ\(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j})\delta t = \boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j} + \left( \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial p_j}\delta p_j \right)\delta t\)に移動するので、\(\delta t\)秒後の領域\(D\)は超平行多面体となる。この超平行多面体をつくる新しい\(2N\)本のベクトルは、移動後の各点からベクトルの引き算をすると求められ、
$$
\left\{ \boldsymbol{E}_{q_j} \right\}_{j=1}^N = \left\{ \left( \boldsymbol{e}_{q_j} + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_j}\delta t \right) \delta q_j \right\}_{j=1}^N \qquad \left\{ \boldsymbol{E}_{p_j} \right\}_{j=1}^N =\left\{ \left( \boldsymbol{e}_{p_j} + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial p_j}\delta t \right) \delta p_j \right\}_{j=1}^N
$$となる。この超平行多面体の超体積\(V’\)を求める。線形代数の定理より、超体積\(V’\)は、新しい辺のベクトルを列ベクトルとして並べた行列の行列式の絶対値になることが示されているから、
\begin{align*}
&V’ = \left| \det \left( \boldsymbol{E}_{q_1} \boldsymbol{E}_{q_2} … \boldsymbol{E}_{q_N} \boldsymbol{E}_{p_1} \boldsymbol{E}_{p_2} … \boldsymbol{E}_{p_N} \right) \right| = \left| \space \det \left[ \begin{pmatrix} \delta q_1 + \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \\ \left( \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \\ \vdots \\ \left( \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \end{pmatrix} … \begin{pmatrix} \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \\ \left( \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \\ \vdots \\ \delta p_N + \left( \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \end{pmatrix} \right] \right| \\[4pt]
&= \left| \space \det \left[ \delta q_1 \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t \\ \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial q_1} \delta t \\ \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t \end{pmatrix} … \delta p_N \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots \\ 1+ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right] \right|\\[4pt]
&= (\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N) \times \left| \det \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t & \dots & \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t & \dots & 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right| = (\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N)
\end{align*}とかける。ただし、５つ目の等号は、微小量\(\delta t\)については２次以上の項を捨てているので、行列式の計算は対角成分の積に他ならないことから、
\begin{align*}
&\left| \det \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t & \dots & \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t & \dots & 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right| \approx \left( 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t \right) \times \dots \times \left( 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \right) \\
&\approx 1 + \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} + \dots + \frac{\partial \dot{q}_N}{\partial q_N} + \frac{\partial \dot{p}_1}{\partial p_1} + \dots + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \right) \delta t = 1+ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \right) \\
&= 1+ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right) + \frac{\partial}{\partial p_i}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) \right) = 1
\end{align*}という計算が成り立つことを用いている。ただし、この計算の４つ目の等号は正準方程式を用いている。\((\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N)\)というのはもとの超直方体の超体積より、新しい超平行多面体ともとの超直方体の超体積が等しいことがいえたので、以上より示された。□

一般化座標\(\boldsymbol{q}\)、一般化運動量\(\boldsymbol{p}\)および時刻\(t\)の関数\(A(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)について、時間による全微分をすると、
$$
\frac{dA}{dt} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{d q_i}{d t} + \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{d p_i}{d t} \right) + \frac{\partial A}{\partial t} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial A}{\partial t} = \{ A,H \} + \frac{\partial A}{\partial t}
$$とかけるので示された。ただし、１つ目の等号は合成関数の微分、２つ目の等号は正準方程式、３つ目の等号はポアソン括弧の定義を用いている。□

(i)の証明
定義より、以下のように変形できるので示される。
$$
\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} = – \left( \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial p_i} – \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_i} \right) = -\{B, A\}
$$(ii)の証明
第１式は、定義と微分の線形性より、以下のように変形できるので示される。
\begin{align*}
& \{\alpha A + \beta B, C\} = \frac{\partial (\alpha A + \beta B)}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial (\alpha A + \beta B)}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} = \left( \alpha \frac{\partial A}{\partial q_i} + \beta \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) \frac{\partial C}{\partial p_i} – \left( \alpha \frac{\partial A}{\partial p_i} + \beta \frac{\partial B}{\partial p_i} \right) \frac{\partial C}{\partial q_i} \\[4px]
&= \alpha \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) + \beta \left( \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) = \alpha\{A, C\} + \beta\{B, C\}
\end{align*}第２式も同様に計算すると示される。
(iii)の証明
第１式は、定義と積の微分より、以下のように変形できるので示される。
\begin{align*}
&\{A, BC\} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial (BC)}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial (BC)}{\partial q_i} = \frac{\partial (BC)}{\partial p_i} = \frac{\partial B}{\partial p_i}C + B\frac{\partial C}{\partial p_i} \\[4px]
&= \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) C + B \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) = \{A, B\}C + B\{A, C\}
\end{align*}(iv)の証明
左辺を計算すると出てくる項は、\(A\)の2階微分が含まれる項、\(B\)の2階微分が含まれる項、\(C\)の2階微分が含まれる項に分けられる。ここで、\(C\)の2階微分が含まれる項だけに注目すると、第１項からの寄与
$$
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial p_i \partial p_j} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial q_i \partial p_j} \right)
$$と第２項からの寄与
$$
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left( – \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial p_i \partial p_j} + \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial q_i \partial p_j} \right)
$$は打ち消し合ってゼロになるため、\(C\)の2階微分が含まれる項は消える。同様に、\(A\)の2階微分が含まれる項、\(B\)の2階微分が含まれる項も消えるため、\(\{A, \{B, C\}\} + \{B, \{C, A\}\} + \{C, \{A, B\}\} = 0\)となることが示された。□

物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta A\)を計算すると、以下のように示される。
\begin{align*}
\delta A &= A(\boldsymbol{q} + \delta\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p} + \delta\boldsymbol{p},t) – A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t) = \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial A}{\partial p_i} \delta p_i \right) \\
&= \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \left( \epsilon \frac{\partial B}{\partial p_i} \right) + \frac{\partial A}{\partial p_i} \left( -\epsilon \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) \right) = \epsilon \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) = \epsilon \{A, B\}
\end{align*}ただし、２つめの等号は多変数関数のテイラー展開の１次近似、３つ目の等号は定義３.18、５つ目の等号はポアソン括弧の定義を用いている。□

定義３.18にしたがって、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)を
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q_i}{dt} \epsilon \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial H}{\partial q_i} = \frac{d p_i}{dt} \epsilon
$$のように変化させる変換を、ハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換と定義すると、これは先にも述べたように、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)を微小時間\(\epsilon\)だけ時間発展させる変換である。したがって、物理量\(A\)が時間\(t\)に直接依存しないならば、この変換によって、物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)も微小時間\(\epsilon\)だけ時間発展する。
一方で、系３.22の結果より、この変換による物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)の変化量\(\delta A\)は、\(\delta A= \epsilon \{A, H\}\)とかけるので、示された。□

ラグランジュ力学で扱ったネーターの定理によると、ある変換によるラグランジアン\(L\)の変分\(\delta L\)が、ある関数\(J\)の全微分\(dJ/dt\)でかけるならば、物理量
$$
\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) – J = \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i – J
$$は保存する。この保存量が微小パラメータ\(\epsilon\)を用いて\(\epsilon G\)とかけるとして、これと正準方程式のみを前提にした議論で定理３.25が証明できることを示す。まずハミルトニアン\(H\)の変分\(\delta H\)は、
\begin{align*}
\delta H &= \sum_{i=1}^N (\delta p_i \dot{q}_i + p_i \delta \dot{q}_i) – \delta L = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i \right) + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i) – \delta L \\
&= \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i – J \right) + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i) = \epsilon \frac{dG}{dt} + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i)
\end{align*}とかける。ただし、１番目の等号はハミルトニアンの定義\(H = \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – L\)、２番目の等号は積の微分\( \frac{d}{dt}(p_i \delta q_i)=p_i \delta \dot{q}_i +\dot{p}_i \delta q_i \)、３番目の等号は\(\delta L\)がある関数\(J\)の全微分\(dJ/dt\)でかけること、４番目の等号は保存量が微小パラメータ\(\epsilon\)を用いて\(\epsilon G\)とかけることを用いた。
これより、座標と運動量の変分が、物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換にしたがう、つまり、
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial G}{\partial q_i}
$$を満たしているとき、
$$
\epsilon \frac{dG}{dt} = \epsilon \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial G}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial G}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial G}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial G}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) = -\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \delta p_i \right) = -\delta H
$$となるといえる。ただし、２つ目の等号はハミルトンの正準方程式、３つ目の等号は物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換の定義を用いた。
ここから、ハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)が変換に対して不変であること、つまり\(\delta H=0\)と、物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)が時間変化に対して保存されること、つまり\(dG/dt=0\)は同値であるから示された。□

(Ⅰ)の命題「物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換に対してハミルトニアンが不変である」は、系２.２より、その変分\(\delta H = \epsilon \{H, G\}\)がゼロである、すなわち\(\{H, G\} = 0\)であると表せる。
また、(Ⅱ)の命題「物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)が保存される」は、定理２.４より、\(\{G, H\} = 0\)であると表せる。
ここで定理１.３より、ポアソン括弧は反対称性\(\{H, G\} = -\{G, H\}\)を満たすので、\(\{H, G\} = 0\)と\(\{G, H\} = 0\)は同値であるとして示された。□

任意の物理量\(F\)に対して、\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta F_1\)は\(\delta F_1= \epsilon_A\epsilon_B \{ \{F, A\},B \}\)とかける。同様に、\(B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta F_2\)は\(\delta F_2= \epsilon_A\epsilon_B \{ \{F, B\},A \}\)とかける。ここでもし、これら２つの変換を連続して作用させたときに、その作用させる順序に結果が一切依存しないならば、
$$
\delta F_1-\delta F_2=\epsilon_A\epsilon_B \left( \{ \{F, A\},B \} – \{ \{F, B\},A \} \right)=\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}=0
$$とかける。ただし、２つ目の等号は、定理３.17(Ⅳ)のヤコビ恒等式を用いている。したがって、(Ⅱ)の条件は、任意の物理量\(F\)に対して\( \{F, \{A, B\}\}=0\)が成り立つこと、つまり、\(\{A, B\} = 0\)が成り立つことに等価であるから示された。□

任意の物理量\(F\)に対して、\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量を\(\delta F_1\)、この逆の順に作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量を\(\delta F_2\)とすると、定理３.26の証明と同様にして、
$$
\delta F_1-\delta F_2=\epsilon_A\epsilon_B \left( \{ \{F, A\},B \} – \{ \{F, B\},A \} \right)=\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}
$$とかける。ここで、\(\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}\)は、物理量\(\{A, B\}\)を生成子とする無限小変換を作用させたときの\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量にほかならないので、示された。□

変換\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow \Big(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t), \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t) \Big)\)が正準変換であるならば、その定義より\(i=1,2,…,N\)に対して、
$$
\delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = 0 \qquad \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt = 0
$$が成り立つ。変分をとってゼロになる関数どうしというのは完全に同じ関数である必要はなく、任意の関数\(F\)の時間による全微分\(\frac{dF}{dt}\)だけのずれが許容されるので、\(i=1,2,…,N\)に対して、
$$
\sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H = \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K + \frac{dF}{dt}
$$すなわち、\(\sum_{i=1}^N p_i dq_i – Hdt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – Kdt + dF\)を満たす関数\(F,K\)が存在することが示された。□

前提として、現実の運動は最小作用の原理を満足するので作用積分の変分はゼロ、つまり、
$$
\delta S = \delta \int L dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = 0 \qquad \text{(a)}
$$となるが、この変分計算からハミルトンの正準方程式を得ることができることを後で用いる。
さて、(Ⅱ)の式の両辺を微小時間\(dt\)で割ると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H = \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K + \frac{dF}{dt}
$$となり、この式の両辺を、時間\(t_1\)から\(t_2\)まで積分すると、
$$
\int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt + \int_{t_1}^{t_2} \frac{dF}{dt} dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt + F(t_2) – F(t_1)
$$とかける。さらに、この式の両辺の、始点\(t_1\)と終点\(t_2\)を固定したときの変分をとると、
$$
0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt
$$となる。ただし１つめの等号は式(a)を、２つ目の等号は\(\delta F(t_2) = \delta F(t_1) = 0\)を用いた。ここで得られた
$$
0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt
$$について、この変分計算から新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)とハミルトニアン\(K\)におけるハミルトンの正準方程式
$$
\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} \qquad (i=1,2,…,N)
$$を得ることができるので、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理３.31より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は独立であるから、\(F\)の引数として\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分\(dF\)は
$$
dF = \sum_{i=1}^N \frac{\partial F}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial F}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial F}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
p_i= \frac{\partial F}{\partial q_i} \qquad P_i= -\frac{\partial F}{\partial Q_i} \qquad K = H + \frac{\partial F}{\partial t}
$$となるから、\(W=F\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial q_i\)や\(\partial W/\partial Q_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dW
$$とかけるから、定理３.31の\(F\)を\(W\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理３.31より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N P_iQ_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N p_i dq_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
p_i= \frac{\partial G}{\partial q_i} \qquad Q_i= \frac{\partial G}{\partial P_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial q_i\)や\(\partial W/\partial P_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N p_i dq_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W – \sum_{i=1}^N P_i Q_i \right)
$$とかけるから、定理３.31の\(F\)を\(W – \sum_{i=1}^N P_i Q_i\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理３.31より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N p_iq_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
q_i= -\frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad P_i= -\frac{\partial G}{\partial Q_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial p_i\)や\(\partial W/\partial Q_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N -P_i dQ_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W – \sum_{i=1}^N p_i q_i \right)
$$とかけるから、定理３.31の\(F\)を\(W – \sum_{i=1}^N p_i q_i\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理３.31より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N P_iQ_i-\sum_{i=1}^N p_iq_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
q_i= -\frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad Q_i= \frac{\partial G}{\partial P_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial p_i\)や\(\partial W/\partial P_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W -\sum_{i=1}^N P_iQ_i- \sum_{i=1}^N p_i q_i \right)
$$とかけるから、定理３.31の\(F\)を\(W -\sum_{i=1}^N P_iQ_i- \sum_{i=1}^N p_i q_i\)としたものとして、示された。□

\(2N\)個の古い変数\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)と、新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)を、それぞれ縦ベクトル\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{X}\)にまとめて
$$
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{p} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{Q} \\ \boldsymbol{P} \end{pmatrix}
$$とかくと、このとき古い変数におけるハミルトンの正準方程式\(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)は、
$$
\dot{\boldsymbol{x}} = J (\nabla_{\boldsymbol{x}} H) \qquad \text{(a)}
$$だけでかける。また、変換\(\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{X}\)が正準変換であるとすると、新しい変数\(\boldsymbol{X}\)においても、新しいハミルトニアン\(K\)に対してハミルトンの正準方程式の形が保たれるということなので、同様にして、
$$
\dot{\boldsymbol{X}} = J (\nabla_{\boldsymbol{X}} K) \qquad \text{(b)}
$$が成り立っている。さて、合成関数の微分より、\(\dot{\boldsymbol{X}} = M \dot{\boldsymbol{x}}\)および\((\nabla_{\boldsymbol{x}} H) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)であることを、(a)式に代入すると、
$$
\dot{\boldsymbol{X}} = M J {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K) \qquad \text{(c)}
$$とかけるので、(b)式と(c)式の係数を比較して、\(M J {}^t \! M = J\)が得られた。□

先の証明と同様に、\(2N\)個の古い変数\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)と、新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)を、それぞれ縦ベクトル\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{X}\)にまとめて
$$
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{p} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{Q} \\ \boldsymbol{P} \end{pmatrix}
$$とかくと、このとき古い変数におけるハミルトンの正準方程式\(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)は、
$$
\dot{\boldsymbol{x}} = J (\nabla_{\boldsymbol{x}} H)
$$だけでかける。合成関数の微分より、\(\dot{\boldsymbol{X}} = M \dot{\boldsymbol{x}}, \quad (\nabla_{\boldsymbol{x}} H) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)であること、および(Ⅱ)の仮定である\(M J {}^t \! M = J\)を用いると、新しい変数における正準方程式\(\dot{\boldsymbol{X}} = J (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)が導かれるため、示された。□

定理３.37をふまえて、定理３.37の(Ⅱ)→定理３.38の(Ⅱ)を示す、つまり、「定理３.37で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立っているとき、\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立つこと」を示すことにする。
新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)をすべての\(i, j\)の組み合わせで計算し、行列の形に並べたものは、数学の定義から自動的に\(M J {}^t \! M^T\)という行列になるので、\(M J M^T = J\)より、
\(\{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の左上のブロックの成分なのでたしかに０
\(\{P_i, P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の右下のブロックの成分なのでたしかに０
\(\{Q_i, P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の右上のブロックの成分なのでたしかに\(\delta_{ij}\)であることが示された。□

定理３.37をふまえて、定理３.38の(Ⅱ)→定理３.37の(Ⅱ)を示す、つまり、「\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立っているとき、定理３.37で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立つこと」を示すことにする。
新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)をすべての\(i, j\)の組み合わせで計算し、行列の形に並べたものは、数学の定義から自動的に\(M J {}^t \! M^T\)という行列になる。一方で、定理３.38の(Ⅱ)の仮定より、新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)を\(2N \times 2N\)の行列の形に並べると、左上と右下のブロックは\(O\)、右上のブロックは単位行列\(I\)、左下のブロックは\(-I\)である行列\(J\)になるので、たしかに\(M J {}^t \! M^T = J\)となる。□

定理３.37をふまえて、定理３.37の(Ⅱ)→定理３.39の(Ⅱ)を示す、つまり、「定理３.37で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立っているとき、任意の関数\(A,B\)について、\(\{A,B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}=\{A,B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)が成り立つこと」を示すことにする。
任意の関数\(A,B\)について、古い変数同士のポアソン括弧\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は、数学の定義から自動的に\({}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{x}}A)J(\nabla_{\boldsymbol{x}}B)\)とかけ、同様に、新しい変数同士のポアソン括弧\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}\)は、\({}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}}A)J(\nabla_{\boldsymbol{X}}B)\)とかける。さて、合成関数の微分より、\((\nabla_{\boldsymbol{x}} A) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} A)\)および\((\nabla_{\boldsymbol{x}} B) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B)\)であることを用いると、
$$
\{A, B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} = {}^t \! \left( {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) \right) J \left( {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) \right) = {}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) M J {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) = {}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) J (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) = \{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}
$$とかけるので示された。ただし、２つ目の等号は定理３.37の(Ⅱ)の仮定、３つ目の等号は先に述べた\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}\)の数学的書き換えを用いている。□

定理３.38をふまえて、定理３.39の(Ⅱ)→定理３.38の(Ⅱ)を示す、つまり、「任意の関数\(A,B\)について、\(\{A,B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}=\{A,B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)が成り立っているとき、\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立つこと」を示すことにする。
\(A\)として新しい座標\(Q_i\)、\(B\)として新しい座標\(Q_j\)を選ぶことにすると、
$$
\{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} = \{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})} = \sum_{k=1}^N \left( \frac{\partial Q_i}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_j}{\partial P_k} – \frac{\partial Q_i}{\partial P_k} \frac{\partial Q_j}{\partial Q_k} \right) = \sum_{k=1}^N (\delta_{ik} \cdot 0 – 0 \cdot \delta_{jk}) = 0
$$となる。ただし、１つ目の等号は定理３.39の(Ⅱ)の仮定を、３つ目の等号は新しい座標系の中において、\(Q\)と\(P\)がそれぞれ独立した変数であるため、自分自身で微分すれば\(1\)、違う変数で微分すれば\(0\)になることを用いている。同様にして、\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_ij\)が成り立つので、示される。□

\(Q_i= \partial S/\partial P_i, K=0\)とすると、１階非線形偏微分方程式の解\(S(\boldsymbol{q},\boldsymbol{P},t)\)に対し、
$$
p_i= \frac{\partial S}{\partial q_i} \qquad Q_i= \frac{\partial S}{\partial P_i} \qquad K =0= H + \frac{\partial S}{\partial t}
$$が成り立つので、定理３.33の(Ⅱ)→(Ⅰ)より、変換\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow \Big(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}), \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \Big)\)は正準変換である。よって、
$$
\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = 0 \qquad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0
$$であるから、\(Q_i =\partial S/\partial P_i\)は時間変化しない定数であるとして示された。□