クーロンの法則を仮定したときの、電場におけるガウスの法則の証明

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

クーロンの法則を仮定したとき、そこから静電場におけるガウスの法則を証明できることは、親記事ですでに示しました。ただ数式に埋もれてしまう証明であったため、本稿では、クーロンの法則を仮定したときの、電場におけるガウスの法則の直感的な証明を与えることにします。

電場におけるガウスの法則の証明

積分形の電場におけるガウスの法則

ここで、時間変化しない、積分形のマクスウェル方程式は次のようになります。

定理２.４.４.１(積分形のマクスウェル方程式)
電場$\boldsymbol{E}$、磁場$\boldsymbol{B}$に対して成り立つ、以下の４つの方程式を積分形のマクスウェル方程式と呼ぶ。これらは微分形のマクスウェル方程式と等価である。

(1) 電場におけるガウスの法則(積分形)
任意の閉曲面$S$に対し、その閉曲面内部に含まれる全電荷の合計を$Q$とすると、
$$
\oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
$$(2) 磁場におけるガウスの法則(積分形)
任意の閉曲面$S$に対して、
$$
\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0
$$(3) 電場における渦なしの法則(積分形)
任意の閉曲線$C$について、その閉曲線を縁とする任意の曲面を$S$とすると、
$$
\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} = 0
$$(4) 磁場におけるアンペールの法則(積分形)
任意の閉曲線$C$について、その閉曲線を縁とする任意の曲面を$S$として、その曲面を通過する全電流の合計を$I$とすると、
$$
\oint_{C} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{r} = \mu_0 I
$$ただし、$\epsilon_0$は真空の誘電率、$\mu_0$は真空の透磁率である。

この第１式が積分形の電場におけるガウスの法則の表式で、別稿において、微分形の電場におけるガウスの法則$\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$と等価であることを示しました。
微分形に比べ、積分形はその式の意味を直感的に理解しやすいことが特徴です。電場におけるガウスの法則の左辺$\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS$は、閉曲面$S$上での電場の面積分、つまり、電場が閉曲面内からどれだけ湧き出しているかを表す量です。右辺は、その閉曲面内部に含まれる全電荷の合計$Q$に比例しますから、結局この式は「電場の湧き出しはその閉曲面内の電荷合計に比例する」ということを述べていますね。

積分形の電場におけるガウスの法則の証明

ではここからは、当初の目標である、クーロンの法則を仮定したときの、電場におけるガウスの法則の証明をしていきます。これの準備としてまず補題をいくつか示します。

補題２.４.４.２
点電荷$q$のみ存在する空間において、任意の閉曲面$S$をこの点電荷を含むようにとり、また、$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})$は閉曲面上の各位置$\boldsymbol{r}$での面を外向きに貫く大きさ1の法線ベクトルを表すこととする。このとき以下が成立する。
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \frac{q}{\epsilon_0}
$$

補題２.４.４.２の証明

任意の閉曲面$S$について、その閉曲面上での電場の面積分を計算する。

図２.４.４.２より、$\Delta S’=\Delta S \cos \theta$であり、また立体角の定義から、半径$r$の球において立体角$\Delta \Omega$に対する曲面$\Delta S’$は、$\Delta S’=r^2 \Delta \Omega$と表せることをふまえると、
$$
\frac{r^2 \Delta \Omega}{\cos \theta}=\Delta S
$$とかける。これは、$\Delta S$が0に収束する極限でも成立するので、電場の面積分を計算すると、
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \displaystyle \int_{S} E(\boldsymbol{r}) n(\boldsymbol{r}) \cos \theta \frac{r^2 d\Omega}{\cos \theta} = \displaystyle \int_{S} E(\boldsymbol{r}) r^2 d\Omega = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{S} d\Omega = \frac{q}{\epsilon_0}
$$となり、これより示された。□

補題２.４.４.３
点電荷$q$のみ存在する空間において、任意の閉曲面$S$をこの点電荷を含まないようにとり、また、$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})$は閉曲面上の各位置$\boldsymbol{r}$での面を外向きに貫く大きさ1の法線ベクトルを表すこととします。このとき以下が成立します。
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = 0
$$

補題２.４.４.３の証明

任意の閉曲面$S$について、その閉曲面上での電場の面積分を計算する。

図２.４.４.３のように閉曲面$S_0$,$S_{-}$をとると、面積分の性質から、
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \displaystyle \int_{S_0} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS – \displaystyle \int_{S_{-}} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS
$$とかける。閉曲面$S_0$,$S_{-}$はともに点電荷$q$を含んでいるので、先に示したことより、
$$
\displaystyle \int_{S_0} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \displaystyle \int_{S_{-}} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \frac{q}{\epsilon_0}
$$であるから、$\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \frac{q}{\epsilon_0} – \frac{q}{\epsilon_0} = 0$となり、これより示された。□

示す補題は以上です。これらから積分形の電場におけるガウスの法則を示していきます。

定理２.４.４.１の第１式の証明

任意の電荷分布は点電荷の集まりとみなせるので、ある電荷分布について、これは閉曲面$S$内の点電荷$q_1$,$q_2$,…$q_i$,…と閉曲面$S$外の点電荷$Q_1$,$Q_2$,…$Q_j$,…の集まりとして扱える。このとき、$q_1$,$q_2$,…$q_i$,…がそれぞれ単独で作る電場を$\boldsymbol{e}_1$,$\boldsymbol{e}_2$,…$\boldsymbol{e}_i$,…とし、$Q_1$,$Q_2$,…$Q_j$がそれぞれ単独で作る電場を$\boldsymbol{E}_1$,$\boldsymbol{E}_2$,…$\boldsymbol{E}_j$,…とすると、ある位置$\boldsymbol{r}$での電場は、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \sum_{i} \boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{r}) + \sum_{j} \boldsymbol{E}_j(\boldsymbol{r})
$$と表せる。ここで、これまで示した２つの補題より、
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = \frac{q_i}{\epsilon_0}
$$$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS = 0
$$であることから、閉曲面$S$に対して電場の面積分を計算すると、
$$
\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}) dS = \displaystyle \int_{S} \left(\sum_{i} \boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{r}) + \sum_{j} \boldsymbol{E}_j(\boldsymbol{r})\right) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}) dS = \left(\sum_{i} {\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS}\right) + \left(\sum_{j} {\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{E}_j(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n(\boldsymbol{r})} dS}\right) = \frac{\sum_i q_i}{\epsilon_0}
$$となり、これより示された。□

どうでしょうか。これで、電場におけるガウスの法則の主張をなんとなく理解できれば問題ないですよ。