こんにちは、turtleです。現在力学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。
さて、ラグランジアン\(L\)が与えられるとそこから、オイラー=ラグランジュ方程式を解かないでもわかることは親記事で述べたことだけではありません。ここからは、とくにラグランジアン\(L\)に「含まれていない」変数があるときを考えましょう。ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)\)がある変数\(q_j\)を含んでいないとき、この変数\(q_j\)のことを循環座標とよびます。循環座標\(q_j\)に対して、オイラーラグランジュ方程式を立てると、
$$
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}= \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0
$$となるので、時間微分するとゼロになる\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \equiv c \)は定数になるわけです。
言葉だとイメージしにくいので、例を出して考えてみましょう。例えば、太陽を原点とする極座標系\((r,\theta)\)を定義して、太陽のまわりを公転する惑星の万有引力による運動について議論することにします。このとき、はたらいている力はすべて保存力であるので、中心力場のポテンシャルを\(V(r)\)として、系のラグランジアンは、
$$
L(r, \dot{r}, \dot{\theta}) = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) – V(r)
$$とかくことができます。ここで\(\theta\)は循環座標でありますから、\(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta} \equiv l \)は定数であって、\(\dot{\theta} = \frac{l}{mr^2}\)とかけますね。定数があるなら、それをラグランジアンに代入して、ラグランジアンの変数を減らしてやろう、、、と考えるのが自然です。試しに代入してみると、
$$
\tilde{L}(r, \dot{r}) = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{l^2}{2m r^2} – V(r)
$$となって、なかなか有用なように見えますが、実はこれはラグランジアンとして間違えています。というのは、この\(\tilde{L}\)を使ってオイラー=ラグランジュ方程式
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{r}}\right) – \frac{\partial \tilde{L}}{\partial r} = 0
$$を計算すると、\(m\ddot{r} = -\frac{l^2}{mr^3} – \frac{\partial V}{\partial r}\)となり、遠心力の項の符号がマイナスになっているため、回転すればするほど内側に吸い寄せられるという、物理的にありえない方程式が出てきているんですね。
間違った方程式が出てしまった理由は「偏微分\(\frac{\partial}{\partial r}\)を計算するときに、何を一定とみなしているかがすり替わってしまったから」です。
正しい\(L(r, \dot{r}, \dot{\theta})\)の場合は、\(\frac{\partial L}{\partial r}\)を計算するとき、\(\dot{\theta}\)は独立した変数なので、定数扱いして微分しますよね。
しかし、直接代入した \(\tilde{L}(r, \dot{r})\)の場合は、\(\dot{\theta}\)を\(\frac{l}{mr^2}\)に置き換えてしまったため、\(\dot{\theta}\)の中に\(r\)が入り込んでしまい、\(\dot{\theta}\)が\(r\)に従属な変数として微分されているのです。
では、どうすればいいか。それには以下のことを使います。
ルジャンドル変換とラウシアン
以下の定理中だけの記法として、引数の組\((q_1,…,q_{j-1},q_{j+1},…q_N,\dot{q}_1,…,\dot{q}_{j-1},\dot{q}_{j+1},…,\dot{q}_N)\)を\((\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}})\)とかくことにします。
定理Ａ.３.５.１(ルジャンドル変換)
ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)\)について、\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\)を計算してから\(\dot{q}_j\)に関して解いた式を、\(\dot{q}_j \left( \boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)\)とかくと、
$$
R \left(\boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) = L \left(\boldsymbol{q}, \dot{\tilde{\boldsymbol{q}}}, \dot{q}_j \left( \boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) \right) – \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \dot{q_j} \left(\boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)
$$としたとき、\(i \ne j\)に対して、以下のオイラー=ラグランジュ方程式が成り立つ。
$$
\frac{\partial R}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_i} =0
$$
定理Ａ.３.５.１の証明
与えられた定義式\(R \left(\boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) = L \left(\boldsymbol{q}, \dot{\tilde{\boldsymbol{q}}}, \dot{q}_j \left( \boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) \right) – \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \dot{q_j} \left(\boldsymbol{q},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}},\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)\)を、\(q_i\)と\(\dot{q}_i\)\((i \ne j)\)でそれぞれ偏微分すると、合成関数の微分より、
$$
\frac{\partial R}{\partial q_i} = \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} \ = \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}
$$$$
\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_i} = \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{q}_i} \right) – \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{q}_i} – \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
$$となるので、元のオイラー=ラグランジュ方程式
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} =0
$$に代入することで、示される。□
これより以下が成り立ちます。
系Ａ.３.５.２(ルジャンドル変換とラウシアン)
ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)\)がある変数\(q_j\)を含んでいないとき、定数\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\)を\(c\)とすると、
$$
R(\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}}) = L(\tilde{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{q}}, \dot{q}_j(\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}})) – c \dot{q_j}(\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}})
$$としたとき、\(i \ne j\)に対して、以下のオイラー=ラグランジュ方程式が成り立つ。
$$
\frac{\partial R}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_i} =0
$$
このときの\(R\)をラウシアンといいます。さて、つまり先ほどの万有引力が相互作用する太陽と惑星の系では、ラウシアンとして、
$$
R = L – \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \dot{\theta} = \left( \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 – V(r) \right) – l\dot{\theta} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 – \left[ V(r) + \frac{l^2}{2mr^2} \right]
$$と定義するとうまくいくというわけです。このとき、\(m\dot{r}^2/2\)は\(r\)のみを変数とするときの運動エネルギーとなっていますから、大カッコ\([\quad]\)の中身を有効ポテンシャル\(V_{eff}\)とすると、親記事で紹介した定理Ａ.３.５、定理Ａ.３.６、定理Ａ.３.７の\(V\)を\(V_{eff}\)にかえたものが、すべて成り立ちます。
このように、循環座標があるときは、ラウシアンをつくることで変数を消去して次元を落とした議論をすることができ、有効ポテンシャル\(V_{eff}\)のグラフを書くことで、おおまかな運動の様子を判断することができます。
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