時間変化しないマクスウェル方程式と、クーロンの法則、ビオサバールの法則の等価性

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

さて親記事で紹介した、マクスウェル方程式ですが、これは突飛に誰かが思いついたわけではなく、クーロンの法則、ビオサバールの法則、ファラデーの電磁誘導の法則などの実験結果はどのような微分方程式で説明できるかを追求した結果として出てきたものです。
とくに、時間変化しないときの電場や磁場は、クーロンの法則とビオサバールの法則で完全に求められたので、物理現象として実際に起こる結果は一意に定まることをふまえると、クーロンの法則とビオサバールの法則を使って求めた静電場と静磁場は、マクスウェル方程式を使って求めた静電場と静磁場に完全に一致しなければなりませんよね。本稿では、これが正しいこと、つまり時間変化しないマクスウェル方程式と、クーロンの法則、ビオサバールの法則が等価であることを示します。

等価性の証明

証明しなければならないことは、
時間変化しないマクスウェル方程式を仮定したときに、そこからクーロンの法則とビオサバールの法則が導出できること
クーロンの法則とビオサバールの法則を仮定したときに、そこから時間変化しないマクスウェル方程式が導出できること
の二つですよね。ここで、クーロンの法則とビオサバールの法則からそれぞれ示される空間中の電磁場の表式を再掲します。それぞれ、別稿で議論しています。
＞＞クーロンの法則による空間中の電場の表式
 ＞＞ビオサバールの法則による空間中の磁場の表式

系２.３.２
空間領域$V’$に電荷が連続的に分布しているとき、ある位置$\boldsymbol{r’}$における電荷密度を$\rho(\boldsymbol{r’})$とすると、位置$\boldsymbol{r}$における静電場は
$$
\boldsymbol{E(\boldsymbol{r})}=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$

系２.３.４
空間領域$V’$に電流が連続的に分布しているとき、ある位置$\boldsymbol{r’}$における電流密度ベクトルを$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})$とすると、位置$\boldsymbol{r}$における静磁場は
$$
\boldsymbol{B(\boldsymbol{r})}=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} dV’
$$

また、時間変化しないマクスウェル方程式は以下のようになります。

原理２.４.４(時間変化しないマクスウェル方程式)
電場$\boldsymbol{E}$、磁場$\boldsymbol{B}$、電荷密度$\rho$、電流密度$\boldsymbol{j}$の間に成り立つ、以下の４つの基礎方程式をマクスウェル方程式と呼ぶ。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}
$$ただし、$\epsilon_0$は真空の誘電率、$\mu_0$は真空の透磁率である。

ここで第１式と第３式は静電場に関する式、第２式と第４式は静磁場に関する式というように、完全に静電場と静磁場を決定する式が分離していることに注目します。このとき、証明しなければならないことは、
原理２.４.４の第１式と第３式を仮定すると、そこから系２.３.２が導出できること
系２.３.２を仮定すると、そこから原理２.４.４の第１式と第３式が導出できること
原理２.４.４の第２式と第４式を仮定すると、そこから系２.３.４が導出できること
系２.３.４を仮定すると、そこから原理２.４.４の第２式と第４式が導出できること
の４つだと整理できますね。順に示しましょう。ただし、無限遠で電磁場が$\boldsymbol{0}$であることは、境界条件として与えられているとします。

原理２.４.４の第１式と第３式を仮定すると、そこから系２.３.２が導出できることの証明

原理２.４.４の第１式と第３式を仮定すると、定理２.４.５より、
$$
– \nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$が成り立つ。ただし、$\phi(\boldsymbol{r})$は各位置$\boldsymbol{r}$でのスカラーポテンシャルを表す。このとき無限遠で$\phi(\boldsymbol{r})=0$であるので、定理２.４.５.９より、ポアソンの方程式の解はただ一つで、以下で与えられる。
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$ここから勾配の逆符号をとって、電場を求める。$\nabla$は観測点$\boldsymbol{r}$に関する微分演算子であり、積分変数$\boldsymbol{r’}$には作用しないことに注意すると、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r}) = – \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V’} \rho(\boldsymbol{r’}) \nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) dV’
$$微分して計算すると、
$$
\nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるので、これを利用すると、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるが、これは系２.３.２の$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$に等しいので示された。□

系２.３.２を仮定すると、そこから原理２.４.４の第１式と第３式が導出できることの証明

$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$について、両辺の勾配をとる。$\nabla$は観測点$\boldsymbol{r}$に関する微分演算子であり、積分変数$\boldsymbol{r’}$には作用しないことに注意すると、
$$
\nabla \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V’} \rho(\boldsymbol{r’}) \nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) dV’
$$微分して計算すると、
$$
\nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるので、これを利用すると、
$$
\nabla \phi(\boldsymbol{r}) = – \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるが、この右辺は系２.３.２の電場$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$の逆符号に等しい。よって、
$$
\boldsymbol{E(\boldsymbol{r})}=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$である$\boldsymbol{E},\phi$について、$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})$が成り立っている。

第３式$\nabla \times \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0} $の証明
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})$の両辺の回転をとると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = \nabla \times (-\nabla \phi) = – (\nabla \times \nabla \phi)
$$ベクトル解析の恒等式より、任意のスカラー場$\chi$に対して、$\nabla \times \nabla \phi=0$であるから、以下が示された。
$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}
$$第１式$\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$の証明
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})$の両辺の発散をとると、
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \nabla \cdot (-\nabla \phi) = – \nabla^2 \phi
$$ここで、定理２.４.５.９で証明したように、
$$
\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = -\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$であるため、これより、以下が示された。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = – \left( -\frac{\rho}{\epsilon_0} \right) = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$□

原理２.４.４の第２式と第４式を仮定すると、そこから系２.３.４が導出できることの証明

原理２.４.４の第２式と第４式を仮定すると、定理２.４.６より、
$$
\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = -\mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$が成り立つ。ただし、$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$は各位置$\boldsymbol{r}$でのベクトルポテンシャルを表す。このとき無限遠で$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{0}$であるので、定理２.４.６.２より、ポアソンの方程式の解はただ一つで、以下で与えられる。
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})dV’}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$ここから回転をとって、磁場を求める。$\nabla$は観測点$\boldsymbol{r}$に関する微分演算子であり、積分変数$\boldsymbol{r’}$には作用しないことに注意すると、
$$
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V’} \nabla \times \left( \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) dV’
$$被積分関数の回転について、ベクトル解析の公式
$$
\nabla \times (f\boldsymbol{v}) = (\nabla f) \times \boldsymbol{v} + f(\nabla \times \boldsymbol{v})
$$を用いる。ここで$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})$は$\boldsymbol{r}$に依存しないため$\nabla \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{0}$であるから、
$$
\nabla \times \left( \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = \nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) \times \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})
$$微分して計算すると、
$$
\nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるので、これを利用すると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V’} \left( – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} \right) \times \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) dV’ = \displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} dV’
$$となるが、この右辺は系２.３.４の静磁場$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})$に等しいので示された。□

系２.３.４を仮定すると、そこから原理２.４.４の第２式と第４式が導出できることの証明

$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})dV’}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$について、両辺の回転をとる。$\nabla$は観測点$\boldsymbol{r}$に関する微分演算子であり、積分変数$\boldsymbol{r’}$には作用しないことに注意すると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V’} \nabla \times \left( \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) dV’
$$被積分関数の回転について、ベクトル解析の公式
$$
\nabla \times (f\boldsymbol{v}) = (\nabla f) \times \boldsymbol{v} + f(\nabla \times \boldsymbol{v})
$$を用いる。ここで$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})$は$\boldsymbol{r}$に依存しないため$\nabla \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{0}$であるから、
$$
\nabla \times \left( \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = \nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) \times \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})
$$微分して計算すると、
$$
\nabla \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$となるので、これを利用すると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V’} \left( – \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} \right) \times \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) dV’ = \displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} dV’
$$となるが、この右辺は系２.３.４の静磁場$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})$に等しい。よって、
$$
\boldsymbol{B(\boldsymbol{r})}=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’}) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3} dV’
$$$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})dV’}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$である$\boldsymbol{B},\boldsymbol{A}$について、$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$が成り立っている。

第２式$\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0$の証明
$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$の両辺の発散をとると、
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A})
$$ベクトル解析の恒等式より、任意のベクトル場$\boldsymbol{A}$に対して、$\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0$であるから、以下が示された。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$第４式$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}$の証明
$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$の両辺の回転をとると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})
$$ベクトル解析の恒等式$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) – \nabla^2 \boldsymbol{A}$を用いる。ここで、定理２.４.６.２より、
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r’})dV’}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$なるベクトルポテンシャル$\boldsymbol{A}$は、
$$
\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = -\mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$を満足しており、かつこの解は、$\nabla \cdot \boldsymbol{j}=0$なる定常電流のもとでクーロンゲージ条件$\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0$を満たす。よって、第１項は消えて以下が示された。
$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = – \nabla^2 \boldsymbol{A} = \mu_0 \boldsymbol{j}
$$□

以上、時間変化しないマクスウェル方程式と、クーロンの法則、ビオサバールの法則が等価であることの証明になります。とはいったものの、数式に埋もれてイメージが追いついてない場合のために、イメージを重視した証明を別稿で書いておこうと思います。
こちらはクーロンの法則、ビオサバールの法則から、マクスウェル方程式を示す一方向の証明ですが、微分形と等価の積分形について示していて、イメージがしやすいものになっています。
＞＞クーロンの法則を仮定したときの、電場におけるガウスの法則の証明
 ＞＞クーロンの法則を仮定したときの、電場における渦なしの法則の証明
＞＞ビオサバールの法則を仮定したときの、磁場におけるガウスの法則の証明
＞＞ビオサバールの法則を仮定したときの、磁場におけるアンペールの法則の証明