こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。
本稿では、具体的な静電場を、ポアソンの方程式を使って求められる例として、球内に一様分布する電荷のつくる静電場をみていきます。
ポアソンの方程式の利用
静電場におけるポアソンの方程式として、以下が成り立つことが知られています。
静電場におけるポアソンの方程式
以下の２階偏微分方程式がつねに成立している。ただし、\(\rho(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電荷密度、\(\phi(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電位を表す。
$$
– \nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$
これを実際に使える実践的な例として以下を取り上げましょう。
球内に一様分布する電荷による静電場
半径\(R\)の球形に面密度\(\rho\)で一様分布する電荷による静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\)は
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=
\begin{cases}
\frac{\rho}{3\epsilon_0} \boldsymbol{r} \quad (r\le R)\\
\frac{\rho}{3\epsilon_0} (\frac{R}{r})^3 \boldsymbol{r} \quad (r>R)
\end{cases}
\end{equation}
$$
証明 ポアソンの方程式でも求めることができる。球対称電荷分布によってつくられる静電ポテンシャルも球対称であるので、原点からの距離\(r\)のみに依存する関数として\(\phi(r)\)とかける。このとき、
$$
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi(r)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{d\phi(r)}{dr} \frac{\partial r}{\partial x})=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{d\phi(r)}{dr} \frac{x}{r})=[\frac{\partial}{\partial x}\frac{d\phi(r)}{dr}]\frac{x}{r}+\frac{d\phi(r)}{dr}[\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r}]= \frac{d^2 \phi(r)}{dr^2} (\frac{x}{r})^2+\frac{d\phi(r)}{dr}[\frac{1}{r}-\frac{x^2}{r^3}]
$$とかけ、同様に\(y\)方向や\(z\)方向の偏微分も計算すると、
$$
\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi(r)}{\partial y}=\frac{d^2 \phi(r)}{dr^2} (\frac{y}{r})^2+\frac{d\phi(r)}{dr}[\frac{1}{r}-\frac{y^2}{r^3}]
$$$$
\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi(r)}{\partial z}=\frac{d^2 \phi(r)}{dr^2} (\frac{z}{r})^2+\frac{d\phi(r)}{dr}[\frac{1}{r}-\frac{z^2}{r^3}]
$$とかけるので、以下が成り立つ。
$$
\nabla^2 \phi(r) =\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \phi(r)}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \phi(r)}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \phi(r)}{\partial z}=\frac{d^2 \phi(r)}{dr^2} (\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2})+\frac{d\phi(r)}{dr}[\frac{3}{r}-\frac{x^2+y^2+z^2}{r^3}]=\frac{d^2 \phi(r)}{dr^2}+2 \frac{d\phi(r)}{dr}=\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}[r\phi(r)]
$$ゆえに、ポアソンの方程式は、
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}[r\phi(r)]=
\begin{cases}
-\frac{\rho}{\epsilon_0} \quad (r\le R)\\
0 \quad (r>R)
\end{cases}
\end{equation}
$$と記述される。両辺\(r\)をかけて２回\(r\)で積分することにより、\(c_1\),\(c_2\),\(c_3\),\(c_4\)を積分定数として、
$$
\begin{equation}
\phi(r)=
\begin{cases}
-\frac{\rho}{6\epsilon_0}r^2 +c_1+\frac{c_2}{r} \quad (r\le R)\\
c_3+\frac{c_4}{r} \quad (r>R)
\end{cases}
\end{equation}
$$境界条件から積分定数を決定する。\(r\rightarrow 0\)で電位\(\phi(r)\)は有限の値をとるので\(c_2=0\)、\(r\rightarrow \infty\)を電位の基準とするため\(c_3=0\)である。さらに、電位の連続性および境界での電位の法線方向の微分\(\frac{d\phi(r)}{dr}\)の連続性から、
$$
-\frac{\rho}{6\epsilon_0}R^2 +c_1=\frac{c_4}{R} \qquad
-\frac{\rho}{3\epsilon_0}R =-\frac{c_4}{R^2}
$$より、\(c_4=\frac{\rho}{3\epsilon_0}R^3\),\(c_1=\frac{\rho}{2\epsilon_0}R^2\)と決まり、
$$
\begin{equation}
\phi(r)=
\begin{cases}
-\frac{\rho}{6\epsilon_0}r^2 +\frac{\rho}{2\epsilon_0}R^2 \quad (r\le R)\\
\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{R^3}{r} \quad (r>R)
\end{cases}
\end{equation}
$$静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\)は、この勾配の逆符号であるので、
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}(\boldsymbol{r})=
\begin{cases}
\frac{\rho}{6\epsilon_0} \begin{pmatrix}\frac{\partial r^2}{\partial x} \\ \frac{\partial r^2}{\partial y} \\ \frac{\partial r^2}{\partial z} \end{pmatrix}=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac{\rho}{3\epsilon_0} \boldsymbol{r} \quad (r\le R)\\
-\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0} \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r} \\ \frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{r} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{r} \end{pmatrix}=\frac{\rho}{3\epsilon_0} (\frac{R}{r})^3 \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac{\rho}{3\epsilon_0} (\frac{R}{r})^3 \boldsymbol{r} \quad (r>R)
\end{cases}
\end{equation}
$$として示された。□
なお、求めるだけなら、ポアソンの方程式を使わずとも、積分形のガウスの法則とかで求めることはできます。
別の証明 球中心に原点をおくと、これを中心とした球対称電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)が形成されているので、いま示したように、位置\(\boldsymbol{r}\)における電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\)は、半径(r)より内側の球領域の電荷合計がすべて原点に点電荷として集まったときの電荷と等しい。ゆえに、\(r\le R\)のとき、
$$
\frac{\frac{4}{3}\rho \pi r^3}{4\pi \epsilon_0 r^3}\boldsymbol{r} = \frac{\rho}{3\epsilon_0} \boldsymbol{r}
$$であり、\(r>R\)のとき、
$$
\frac{\frac{4}{3}\rho \pi R^3}{4\pi \epsilon_0 r^3}\boldsymbol{r} =\frac{\rho}{3\epsilon_0} \left( \frac{R}{r} \right)^3 \boldsymbol{r}
$$として示された。□
以上、ポアソンの方程式を利用して求められる静電場の例になります。
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