ラグランジアンとは

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

別稿で、ラグランジアンは作用積分を考えるにあたって自然に導入された量として説明しましたが、とはいえ、力学系のラグランジアンがこれで求められるようになったわけではありません。
本稿では、”ラグランジアン$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$をオイラー=ラグランジュ方程式に代入して計算すると、ニュートンの運動方程式が出てくる”という要請から、ラグランジアンの表式が実際にどうかかれるのかを考えていきます。

ラグランジアンとは

ここで原理２.２を再掲します。

原理２.２(オイラーラグランジュ方程式)
力学系の一般化座標を$\boldsymbol{q}=(q_1,q_2,…,q_N)$としたとき、力学系に対応してラグランジアン$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$が定まるならば、$i=1,2,…,N$に対して以下が成り立つ。
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} =0
$$

さて、「力学系に対応してラグランジアン$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$が定まるならば」と書いてあるように、いつもいつでもオイラー=ラグランジュ方程式の式を計算するとニュートンの運動方程式になるような物理量$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$をもってこれるわけではありません。
しかし以下のことはわかっており、実際これを知っていれば初等で扱うほとんどのケースで対応できると思ってもらって大丈夫です。

定理２.２.３
拘束のない力学系において、その変数として直交座標$x_1,x_2,…,x_N$を選んだとき、任意の$i$に対して$x_i$方向のニュートンの運動方程式が$m_i \ddot{x}_i = F_i$とかけるとする。ただし、$F_i$は
$$
F_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i}\right)
$$なるスカラー量$V(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}, t)$が存在するという条件を満たす。このとき、$K=\sum_{i=1}^N (m_i \dot{x_i}^2 /2) $とすると、力学系のラグランジアン$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)$は存在して、$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)=K \left( \boldsymbol{x}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) \right) – V \left( \boldsymbol{x}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) \right)$

定理２.２.３の証明

先に準備として式(a),(b),(c),(d),(e),(f)を与える。
まず直交座標$x_i$は一般化座標$\boldsymbol{q}$と時間$t$の関数$x_i(\boldsymbol{q}, t)$として表されるので、これを時間で微分すると、速度$\dot{x}_i$は合成関数の微分より、
$$
\dot{x}_i = \frac{d x_i}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \frac{dt}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial x_i}{\partial t}
$$とかける。この$\dot{x}_i$を$\dot{q}_k$以外を定数とみなして偏微分すると、$x_i$は$\boldsymbol{q}$と時間$t$の関数であるため、$\frac{\partial x_i}{\partial q_j}$や$\frac{\partial x_i}{\partial t}$は$\dot{\boldsymbol{q}}$を引数に含まないから、合成関数の微分より、
$$
\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial x_i}{\partial t} \right) = \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \qquad \text{(a)}
$$が成り立つ。また(a)式の右辺、$\partial x_i/\partial q_k$を時間微分すると、これは$\boldsymbol{q}$と時間$t$の関数であるため、合成関数の微分より、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \right) = \sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \frac{dt}{dt} = \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \right) = \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_k} \qquad \text{(b)}
$$が成り立つことがわかる。続いて、定理２.２.３の前提で与えたポテンシャルエネルギー$V(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}, t)$について、$V$の$q_j$および$\dot{q}_j$による偏微分を計算すると、
$$
\frac{\partial V}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \right) + \frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial q_k} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \right) \qquad \text{(c)}
$$$$
\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial \dot{q}_j} + \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} \right) + \frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} \qquad \text{(d)}
$$となる。ただし、(d)式においては、２つ目の等号は$x_i$は$\boldsymbol{q}$と時間$t$の関数であって$\dot{\boldsymbol{q}}$を引数に含まないことと(a)式を用いている。(d)式の両辺を時間微分すると、
$$
\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j}\right) = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right) \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i}\right) \right] = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i}\right) \right] \qquad \text{(e)}
$$となる。ただし、２つ目の等号は(b)式を用いている。ここで、(c)式と(e)式の和をとると、
$$
-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_\alpha}\right) = \sum_{i=1}^N \left( -\frac{\partial V}{\partial x_i} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i}\right) \right) \frac{\partial x_i}{\partial q_\alpha} \qquad \text{(f)}
$$となっている。さて、式(a),(b),(c),(d),(e),(f)を与えたので証明に入る。

ニュートンの運動方程式の両辺に$\frac{\partial x_i}{\partial q_j}$を掛け、すべての成分$i$について足し合わせると、
$$
\sum_{i=1}^N m_i \ddot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^N F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \qquad \text{(g)}
$$となるが、(g)式の左辺について、運動エネルギー$K$を用いた形に変形すると、
$$
\text{左辺} = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{d}{dt}\left( m_i \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \right) – m_i \dot{x}_i \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \right) \right] = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{d}{dt}\left( m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} \right) – m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \right] = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial K}{\partial \dot{q}_j} \right) – \frac{\partial K}{\partial q_j}
$$となる。ただし、１つ目の等号は積の微分公式、２つ目の等号は(a)式と(b)式、３つ目の等号は定理２.２.３の前提で与えた運動エネルギー$K$の表式をそれぞれ用いている。また、(g)式の右辺について、ポテンシャル$V$を用いた形に変形すると、(f)式を用いて、
$$
\text{右辺} = -\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)
$$となる。以上の両辺の変形を(g)式に代入すると、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial K}{\partial \dot{q}_j} \right) – \frac{\partial K}{\partial q_j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j}\right) – \frac{\partial V}{\partial q_j}
$$であるから、$L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = K – V$に対して、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0
$$として、一般化座標においてオイラー=ラグランジュ方程式が成り立つことが示された。□

まず、”拘束のない”というのは、$N$次元の運動であれば$x_1,x_2,…,x_N$がそれぞれ独立に動くことができて、関係式として$G(x_1,x_2,…,x_N,t)=0$のようなものが存在しないということです。それに対して例えば、糸につながった運動であったり、台の上を転がる運動であったりは$x_1,x_2,…,x_N$の間に何らかの関係式があることが分かると思いますが、こういうときに”拘束がある”と表現します。
拘束がある場合については、また別稿で扱います。

また、$F_i$の条件について、$V$が$\boldsymbol{x}$のみに依存して$\dot{\boldsymbol{x}}$や$t$に依存しない場合、$V$はポテンシャルエネルギーであることが分かります。$K$はもちろん系全体の運動エネルギーですから、これより任意の$i$に対して$F_i$が保存力のとき、ラグランジアンは(運動エネルギー)$-$(ポテンシャルエネルギー)としてかけるといえます。
力学系の多くの場合にラグランジアンは(運動エネルギー)$-$(ポテンシャルエネルギー)として扱いますが、これはこの定理を背景としているものなのですね。