こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。
親記事において、クーロンの法則やビオサバールの法則、および重ね合わせの原理といった、電荷や電流が離れた場所に直接力を及ぼす「遠隔作用」でかかれた法則は本質的ではなく、「近接作用」でかかれた局所的な微分方程式であるマクスウェル方程式こそが本質的だと話しました。
その一方で、全体のマクロな様子を計算できる「遠隔作用」でかかれた法則は、対称性の高い電荷分布や電流分布に対して電場や磁場を求める際、あるいは(微分形は連続的な空間に対して使うことが前提なので)境界のような不連続な場所での電場や磁場の満たす条件を求める際には、非常に役に立ちます。本稿では、この「遠隔作用」で書かれてある、積分形のマクスウェル方程式を説明します。
積分形のマクスウェル方程式
微分形のマクスウェル方程式
微分形でかかれたマクスウェル方程式を再掲しておきます。
原理２.４(マクスウェル方程式)
電場\(\boldsymbol{E}\)、磁場\(\boldsymbol{B}\)、電荷密度\(\rho\)、電流密度\(\boldsymbol{j}\)の間に成り立つ、以下の４つの基礎方程式をマクスウェル方程式と呼ぶ。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}
$$ただし、\(\epsilon_0\)は真空の誘電率、\(\mu_0\)は真空の透磁率である。
積分形のマクスウェル方程式
これに対して、積分形のマクスウェル方程式とは次のようなものです。
定理２.４.３(積分形のマクスウェル方程式)
電場\(\boldsymbol{E}\)、磁場\(\boldsymbol{B}\)に対して成り立つ、以下の４つの方程式を積分形のマクスウェル方程式と呼ぶ。これらは微分形のマクスウェル方程式と等価である。
(1) 電場におけるガウスの法則(積分形)
任意の閉曲面\(S\)に対し、その閉曲面内部に含まれる全電荷の合計を\(Q\)とすると、
$$
\oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
$$(2) 磁場におけるガウスの法則(積分形)
任意の閉曲面\(S\)に対して、
$$
\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0
$$(3) ファラデーの電磁誘導の法則(積分形)
任意の閉曲線\(C\)について、その閉曲線を縁とする任意の曲面を\(S\)とすると、
$$
\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{r} = -\frac{d}{dt} \displaystyle \int_S \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} dS
$$(4) アンペール-マクスウェルの法則(積分形)
任意の閉曲線\(C\)について、その閉曲線を縁とする任意の曲面を\(S\)として、その曲面を通過する全電流の合計を\(I\)とすると、
$$
\oint_{C} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{r} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \displaystyle \int_S \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} dS
$$ただし、\(\epsilon_0\)は真空の誘電率、\(\mu_0\)は真空の透磁率である。
原理３.４と定理３.４.３が等価であることの証明
積分形から出発して、それが微分形と等価であることを(1)から(4)それぞれについて示していく。
(1) 電場におけるガウスの法則
$$
\oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{V} \frac{\rho}{\epsilon_0} dV
$$の左辺にガウスの発散定理を適用すると、
$$
\int_{V} (\nabla \cdot \boldsymbol{E}) dV = \int_{V} \frac{\rho}{\epsilon_0} dV
$$となる。これが任意の体積\(V\)について成り立つには、被積分関数が恒等的に等しくなければならないため、
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$(2) 磁場におけるガウスの法則：
$$
\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0
$$の左辺にガウスの発散定理を適用すると、
$$
\int_{V} (\nabla \cdot \boldsymbol{B}) dV = 0
$$となる。これが任意の体積\(V\)について成り立つには、被積分関数が恒等的に等しくなければならないため、
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$(3) ファラデーの電磁誘導の法則
$$
\oint_{C} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{s} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}
$$
の左辺にストークスの定理を適用すると、
$$
\int_{S} (\nabla \times \boldsymbol{E}) \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{S} \left( -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}
$$
となる。これが任意の曲面\(S\)について成り立つには、被積分関数が恒等的に等しくなければならないため、
$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}
$$(4) アンペール-マクスウェルの法則
$$
\oint_{C} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{s} = \mu_0 \int_{S} \left( \boldsymbol{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}
$$
の左辺にストークスの定理を適用すると、
$$
\int_{S} (\nabla \times \boldsymbol{B}) \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{S} \left( \mu_0 \boldsymbol{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol{S}
$$
となる。これが任意の曲面\(S\)について成り立つには、被積分関数が恒等的に等しくなければならないため、
$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}
$$よって(1)から(4)それぞれに対して示された。□
以上、積分形のマクスウェル方程式の紹介になります。この積分形も今後使う機会があるので覚えておいてください。
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