ポアソン方程式

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

時間変化しない電荷分布や電流分布から静電場や静磁場を求めるにあたっては、マクスウェル方程式は理論的には問題がない一方で、計算の実用性、つまり解きやすさという点では大きな問題を抱えています。これに対し、親記事において数学的に導入したスカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルを使うと、マクスウェル方程式をそのまま解くのに比べて圧倒的に処理しやすい方程式が現れることを話しました。これをポアソン方程式とよびます。本稿では、静電場、静磁場それぞれにおけるポアソン方程式を示します。

時間変化しないマクスウェル方程式

時間変化するときのマクスウェル方程式を再掲しておきます。

原理２.４(マクスウェル方程式)
電場\(\boldsymbol{E}\)、磁場\(\boldsymbol{B}\)、電荷密度\(\rho\)、電流密度\(\boldsymbol{j}\)の間に成り立つ、以下の４つの基礎方程式をマクスウェル方程式と呼ぶ。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}
$$ただし、\(\epsilon_0\)は真空の誘電率、\(\mu_0\)は真空の透磁率である。

これに対し、本稿では、電荷分布や電流分布が変化しないときを扱います。このとき電場や磁場も時間変化しないため、マクスウェル方程式は以下のようになります(電場や磁場の時間微分がゼロになります)。

原理２.４.４(時間変化しないマクスウェル方程式)
電場\(\boldsymbol{E}\)、磁場\(\boldsymbol{B}\)、電荷密度\(\rho\)、電流密度\(\boldsymbol{j}\)の間に成り立つ、以下の４つの基礎方程式をマクスウェル方程式と呼ぶ。
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{E} = 0
$$$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}
$$ただし、\(\epsilon_0\)は真空の誘電率、\(\mu_0\)は真空の透磁率である。

静電場におけるポアソン方程式

それでは、マクスウェル方程式をそのまま解くのに比べて圧倒的に処理しやすい方程式、ポアソン方程式を見ていきます。

定理２.４.5(静電場におけるポアソンの方程式)
以下の２階偏微分方程式がつねに成立している。ただし、\(\rho(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電荷密度、\(\phi(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)でのスカラーポテンシャルを表す。
$$
– \nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$

定理２.４.５の証明

微分形のガウスの法則に対し、\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})\)を代入することで、
$$
-\nabla \cdot \nabla \phi(\boldsymbol{r}) = -\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$となって、示される。□

つまり、電荷分布からポアソン方程式でスカラーポテンシャル\(\phi\)を求める、スカラーポテンシャル\(\phi\)の勾配の逆符号が電場であるとして解いていくということです。
これがマクスウェル方程式で直接、電荷分布から電場を求めるのに比べて簡単であるのは、ベクトル\(\boldsymbol{E}\)を解かずにスカラー\(\phi\)を解けばよいためです。また、別稿で説明する境界条件の設定について、電場\(\boldsymbol{E}\)よりも電位\(\phi\)の方が条件を与えやすいのも理由の一つです。
静電場におけるポアソン方程式の性質やその解き方について、別稿で説明しています。
＞＞静電場におけるポアソン方程式

静磁場におけるポアソン方程式

静磁場においてもこれに対応するポアソン方程式があります。

定理２.４.６(静磁場におけるポアソン方程式)
以下の２階偏微分方程式がつねに成立している。ただし、\(j(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電流密度、\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)でのベクトルポテンシャルを表す。なお、ベクトルポテンシャルはクーロンゲージ条件(\(\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0\))を満たすとする。
$$
\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = -\mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$

定理２.４.６の証明

静磁場におけるアンペールの法則に対し、\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})\)を代入すると、
$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})) = \mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$となる。ここで、ベクトル解析の恒等式\(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) – \nabla^2 \boldsymbol{A}\)を左辺に適用すると、式は次のように変形される。
$$
\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})) – \nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$ここで、ベクトルポテンシャルは仮定より、クーロンゲージ条件\(\nabla \cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = 0\)を満たすとしているので、左辺の第１項が消滅し、以下のポアソン方程式が示された。
$$
-\nabla^2 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \mu_0 \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})
$$□

つまり、電流分布からポアソン方程式でベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)を求める、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)の回転が磁場であるとして解いていくということです。今回のポアソン方程式はベクトルですが、これがマクスウェル方程式で直接、電流分布から磁場を求めるのに比べて簡単であるのは、方程式の絡まりが解けるためです。
というのは、マクスウェル方程式の第４式は、直交座標系における成分での分解をすると、
$$
\begin{cases}
\frac{\partial B_z}{\partial y} – \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 j_x \\
\frac{\partial B_x}{\partial z} – \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 j_y \\
\frac{\partial B_y}{\partial x} – \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 j_z
\end{cases}
$$となり、\(B_x,B_y,B_z\)の連立方程式となっています。その一方で、ポアソン方程式は、直交座標系における成分での分解をすると、
$$
\begin{cases}
\nabla^2 A_x = -\mu_0 j_x \\
\nabla^2 A_y = -\mu_0 j_y \\
\nabla^2 A_z = -\mu_0 j_z
\end{cases}
$$のように、成分ごとに独立した３つのスカラーポアソン方程式に帰着します。これにより、各成分\(A_x, A_y, A_z\)は、他成分と連成せず、対応する電流密度成分\(j_x, j_y, j_z\)のみによって決定されるため、比較的計算が楽になるということです。
静磁場におけるポアソン方程式の性質やその解き方について、別稿で説明しています。
＞＞静磁場におけるポアソン方程式