こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。
本稿では、具体的な静電場の現象例として、球対称電荷分布のつくる静電場をみていきます。
球対称電荷分布のつくる静電場
球対称電荷分布のつくる静電場
原点を中心とした球対称電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)が形成されているとき、位置\(\boldsymbol{r}\)における電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\)は、半径\(r\)より内側の球領域の電荷合計がすべて原点に点電荷として集まったときの静電場と等しい。
証明 球対称電荷分布が形成されていることより、電場のようすは原点との距離\(r\)にのみ依存し、球の動径方向を(符号付きで)外に向くことが要請される。よって、原点を中心とした半径\(r\)の球面に積分形のガウスの法則を適用すると、電場はこの球面にいたるところで垂直であるので、
$$
E(r)\cdot (4\pi r^2)=\frac{\text{(半径\(r\)より内側の球領域の電荷合計)}}{\epsilon_0}
$$より、向きも考えると、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{\text{(半径\(r\)より内側の球領域の電荷合計)}}{4\pi \epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
$$となり、示された。□
別の証明 まず半径\(r\)、厚み\(dr\)の球殻について、この球殻における電荷密度を一様\(\rho\)とし、この球の中心を原点に3次元デカルト座標を設定して、\(\boldsymbol{R}=(0,0,R)\)とすると、このとき球殻電荷が位置\(\boldsymbol{R}\)につくる静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})\)は、クーロンの法則より、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})=\displaystyle \int_V \frac{\rho dV}{4\pi \epsilon_0} \frac{\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}|^3}
$$とかける。積分変数である\(\boldsymbol{r}\)を３次元極座標で表すと、\(\boldsymbol{r}=(r \sin \theta \cos \phi , r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta )\)とかけることから、
$$
\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}=(-r\sin\theta\cos\phi , -r\sin\theta\sin\phi , R-r\cos\theta)
$$$$
|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}|= (r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{1}{2}
$$と表せるので、先に述べた静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})\)の表式は、
\begin{align*}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})= \left( \displaystyle \int_V \frac{\rho dV}{4\pi \epsilon_0} \frac{-r \sin \theta \cos \phi}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} , \right.\\
\displaystyle \int_V \frac{\rho dV}{4\pi \epsilon_0} \frac{-r \sin \theta \sin \phi}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} , \\
\left.\displaystyle \int_V \frac{\rho dV}{4\pi \epsilon_0} \frac{R-r \cos \theta}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} \right)
\end{align*}とかけることがわかる。体積素片は極座標で\(dV= r^2 \sin \theta dr d\phi\ d\theta\)とかけ、これについて\(\theta\)を0から\(\pi\)、\(\phi\)を0から\(2\pi\)の範囲で体積分するので、あらためて静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})\)の表式は、
\begin{align*}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})= -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \left( \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin^2 \theta \cos \phi}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta , \right.\\
\displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin^2 \theta \sin \phi }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta , \\
\left. \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin \theta \cos \theta – R \sin \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta \right)
\end{align*}とかける。各成分について計算する。
\(x\)成分は、先に\(\phi\)に関する積分を行うと、\(\cos \phi\)以外の項はすべて外に出せるので、
\begin{align*}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})_x = -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin^2 \theta \cos \phi}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta \\
= -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \frac{r \sin^2 \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}}d\theta \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \cos \phi d\phi = 0
\end{align*}$$
\left( ∵ \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \cos \phi d\phi = 0 \right)
$$
同様に\(y\)成分も、先に\(\phi\)に関する積分を行うと、\(\sin \phi\)以外の項はすべて外に出せるので、
\begin{align*}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})_y = -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin^2 \theta \sin \phi}{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta \\
= -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \frac{r \sin^2 \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}}d\theta \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \sin \phi d\phi = 0
\end{align*}$$
\left( ∵ \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \sin \phi d\phi = 0 \right)
$$
\(z\)成分は、これも先に\(\phi\)に関する積分を行うと、被積分関数は\(\phi\)に関して定数のため、
\begin{align*}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})_z= -\frac{\rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \displaystyle \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \frac{r \sin \theta \cos \theta – R \sin \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\phi d\theta \\
= -\frac{2\pi \rho r^2 dr}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \frac{r \sin \theta \cos \theta – R \sin \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\theta
\end{align*}ここで\((r^2+R^2-2rR \cos \theta)^\frac{1}{2} = r’\)として置換すると、両辺\(\theta\)で微分することで、
$$
\frac{dr’}{d\theta} = \frac{2rR \sin \theta}{2 (r^2+R^2-2rR \cos \theta)^\frac{1}{2}}=\frac{rR \sin \theta}{r’}
$$であることより、積分は
$$
\displaystyle \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \frac{r \sin \theta \cos \theta – R \sin \theta }{(r^2+R^2-2rR \cos \theta) ^ \frac{3}{2}} d\theta =\frac{r}{2R^2} \displaystyle \int_{r’=|r-R|}^{r’=|r+R|} \frac{r^2-R^2-r’^2}{ r’^2} dr’= \frac{r}{2R^2} \left\{ (r^2-R^2) \displaystyle \int_{r’=|r-R|}^{r’=|r+R|} \frac{dr’}{r’^2} – \displaystyle \int_{r’=|r-R|}^{r’=|r+R|} dr’ \right\}
$$と書き換えられる。これは計算することができ、\(r>R\)のとき0、\(r<R\)のとき \(\frac{-2r^2}{R^2}\)となることがわかるので、
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})_z= \left\{\begin{matrix}
0&(r>R)\\
\frac{r^2}{R^2} \frac{\rho dr}{\epsilon_0} &(r<R)
\end{matrix}\right.
$$となる。
ここで、\(\rho 4\pi r^2 dr\)は球殻における全電荷であり、
$$
\frac{r^2}{R^2} \frac{\rho dr}{\epsilon_0}=\frac{\rho 4\pi r^2 dr}{4\pi \epsilon_0 R^2}
$$が成立することをふまえると、以上より、半径\(r\)、厚み\(dr\)の球殻について、これが球中心から距離\(R\)の位置につくる静電場は、中心が同じ半径\(R\)の球内に含まれている全電荷が、球中心に点電荷として集まったときにつくる静電場と等しくなることが示された。
球対称電荷分布は、電荷密度一様の球殻が無数に集まった状況とみなせるので、球対称電荷分布が球対称中心から距離\(R\)の位置につくる静電場は重ね合わせの原理より、これら無数の球殻がその位置につくる静電場の足し合わせとみなせる。ここで、球対称中心を中心にとる半径\(R\)の球よりも内側にある球殻は、全電荷が球中心に集まったときと同じ静電場を作り、外側にある球殻のつくる電場は0であることより、はじめの命題「球対称電荷分布が球対称中心から距離\(R\)の位置につくる静電場は、球対称中心を中心にとる半径\(R\)の球内に含まれている全電荷が、球対称中心に点電荷として集まったときにつくる静電場と等しくなる」ことは正しいと示された。□
以上、球対称電荷分布のつくる静電場になります。
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