静電場におけるポアソンの方程式

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

静電場におけるガウスの法則や渦なしの法則は、その式単体では空間の静電場を完全に決定することはできませんでした。これに対し、必要な条件が与えられれば空間の静電場を完全に決定できる式が、本稿で紹介する偏微分方程式である、ポアソンの方程式です。

ポアソンの方程式

静電場におけるポアソンの方程式
以下の２階偏微分方程式がつねに成立している。ただし、\(\rho(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電荷密度、\(\phi(\boldsymbol{r})\)は各位置\(\boldsymbol{r}\)での電位を表す。
$$
– \nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$

証明　微分形のガウスの法則に対し、\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})\)を代入することで、
$$
-\nabla \cdot \nabla \phi(\boldsymbol{r}) = -\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$となって、示される。□

ポアソンの方程式についていくつか成立することがあるので、示します。

定理１
ポアソンの方程式の解\(\phi(\boldsymbol{r})\)は、電荷密度\(\rho(\boldsymbol{r})\)が０であるような位置\(\boldsymbol{r}\)では、極大や極小をとりえない。

証明　電荷のない位置\(\boldsymbol{r}\)で極値をとると仮定すると、２次微係数は０にはならないので、
$$
-\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) \ne 0
$$一方で、位置\(\boldsymbol{r}\)に電荷密度\(\rho(\boldsymbol{r})\)が０であることより、
$$
-\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = 0
$$この２式は矛盾するので仮定は誤りで、定理が示された。□

定理２
領域内に電荷がなく、またその領域の境界で電位\(\phi(\boldsymbol{r})\)が一定値\(\phi_0\)をとるとき、その領域全体で電位\(\phi(\boldsymbol{r})=\phi_0\)である。

証明　その領域中で電位\(\phi(\boldsymbol{r})=\phi_0\)でない位置\(\boldsymbol{r}\)があると仮定すると、領域内のどこかで電位\(\phi(\boldsymbol{r})\)が最大あるいは最小をとるが、これは定理１に矛盾する。よって仮定は誤りで、定理が示された。□

定理３(ディリクレ境界条件)
境界を除く領域中の電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)と、境界上のすべての位置における\(\phi(\boldsymbol{r})\)の値が与えられたとき、ポアソンの方程式の解\(\phi(\boldsymbol{r})\)は一意に定まる。

証明　与えられた境界を除く領域中の電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)と、境界上のすべての位置における\(\phi(\boldsymbol{r})\)の値に対して、\(\phi_1(\boldsymbol{r})\),\(\phi_2(\boldsymbol{r})\)がいずれもポアソンの方程式を満たすとする。まず、
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
-\nabla^2 \phi_1(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0} \\
-\nabla^2 \phi_2(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
$$であるので、境界を除く領域内のすべての位置で
$$
-\nabla^2 \left(\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \right) = 0
$$が成立する。また境界上で\(\phi_1(\boldsymbol{r})\),\(\phi_2(\boldsymbol{r})\)は同じ値をとることから、境界上のすべての位置で
$$
\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})=0
$$を満たす。ゆえに、\(\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\)は、領域内に電荷のないときのポアソンの方程式の１つの解と数学的に等しい。定理２より、ある領域内に電荷がなく、またその領域の境界で電位\(\phi(\boldsymbol{r})\)が一定値0をとるとき、その領域全体で電位0であるため、領域内のすべての位置で
$$
\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})=0
$$であることから、定理が示された。□

定理４(ノイマン境界条件)
境界を除く領域中の電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)と、境界上のすべての位置における電位の法線方向の微分\(\frac{\partial \phi(\boldsymbol{r})}{\partial \boldsymbol{n}}\)の値が与えられたとき、ポアソンの方程式の解\(\phi(\boldsymbol{r})\)は基準点を一つ決めると一意に定まる。
ただし、基準点とは\(\phi(\boldsymbol{r})=0\)である位置\(\boldsymbol{r}\)のことである。

証明　先に、電位の法線方向の微分について、以下が成立することを述べておく。
$$
\frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol{n}} = \frac{d}{ds} \phi(x + s n_x, y + s n_y, z + s n_z) \bigg|_{s=0} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{d(x + s n_x)}{ds}  + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{d(y + s n_y)}{ds} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{d(z + s n_z)}{ds} = \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}
$$また、グリーンの第一恒等式を利用すると数学的に以下が成立するが、この式を(*)とする。
$$
\displaystyle \int_V \{\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\} \nabla^2 \{\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\} + \nabla \{\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\} \nabla \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \} dV = \displaystyle \int_S \{\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\} \left( \nabla \{\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\} \cdot \boldsymbol{n} \right) dS
$$与えられた境界を除く領域中の電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)と、境界上のすべての位置における\(\phi(\boldsymbol{r})\)の値に対して、\(\phi_1(\boldsymbol{r})\),\(\phi_2(\boldsymbol{r})\)がいずれもポアソンの方程式を満たすとする。まず、
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
-\nabla^2 \phi_1(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0} \\
-\nabla^2 \phi_2(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
$$であるので、境界を除く領域内のすべての位置で
$$
-\nabla^2 \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \} = 0
$$が成立する。また境界上で\(\frac{\partial \phi_1(\boldsymbol{r})}{\partial \boldsymbol{n}}=\frac{\partial \phi_2(\boldsymbol{r})}{\partial \boldsymbol{n}}\)が成立しているので、
$$
\frac{\partial (\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}))}{\partial \boldsymbol{n}}=(\nabla \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \}) \cdot \boldsymbol{n}=0
$$を満たす。式(*)にこれまであげた条件
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla^2 \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \} = 0 \\
(\nabla \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \}) \cdot \boldsymbol{n}=0
\end{cases}
\end{equation}
$$を代入すると、
$$
\displaystyle \int_V [ \nabla \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \}]^2 dV = 0
$$となるが、被積分関数はつねに０以上であるので、領域中のあらゆる位置\(\boldsymbol{r}\)で、\(\nabla \{ \phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r}) \}=0 \)、すなわち\(\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})\)は定数である。電位の基準点で\(\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})=0\)であるので、領域内のすべての位置で
$$
\phi_1(\boldsymbol{r})-\phi_2(\boldsymbol{r})=0
$$であるとして、定理が示された。□

定理５
各位置\(\boldsymbol{r}\)での電荷密度\(\rho(\boldsymbol{r})\)が与えられたとする。領域が分極の生じない自由空間であり、無限遠で\(\phi(\boldsymbol{r})=0\)であるとしたとき、ポアソンの方程式の解は、
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$

証明　以下の式が物理的に正しいことが知られている。
$$
\nabla^2 \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = -4\pi \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})
$$ただし、\(\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})\)は3次元のディラックのデルタ関数、すなわち\(\boldsymbol{r} \neq \boldsymbol{r’}\)のときは０、\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r’}\)の点で特異点を持ち、全空間で積分すると１になる関数である。
ここで、定理における解
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$をポアソンの方程式の左辺に代入すると、
$$
– \nabla^2 \left( \displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V’} \rho(\boldsymbol{r’}) \left[ \nabla^2 \left( \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|} \right) \right] dV’ = -\frac{1}{\epsilon_0} \int_{V’} \rho(\boldsymbol{r’}) \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}) dV’ = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho(\boldsymbol{r})
$$$$
∵\displaystyle \int f(\boldsymbol{x})\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d\boldsymbol{x} = f(\boldsymbol{a})
$$であることより、与えられた式
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$はたしかに、ポアソンの方程式を満たす。定理３より、境界を除く領域中の電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)と、境界上のすべての位置における\(\phi(\boldsymbol{r})\)の値が与えられたとき、ポアソンの方程式の解\(\phi(\boldsymbol{r})\)は一意に定まるので、ポアソンの方程式を満たした式ならばこれが解である。よって、定理は示された。□

定理６
電荷分布\(\rho_1(\mathbf{r})\)と境界条件\(C_1\)に対するポアソンの方程式の解を\(\phi_1(\mathbf{r})\)、電荷分布\(\rho_2(\mathbf{r})\)と境界条件\(C_2\)に対するポアソンの方程式の解を\(\phi_2(\mathbf{r})\)とすると、電荷分布\(\rho_1(\mathbf{r})+\rho_2(\mathbf{r})\)と境界条件\(C_1+C_2\)に対するポアソンの方程式の解は\(\phi(\mathbf{r})=\phi_1(\mathbf{r})+\phi_2(\mathbf{r})\)である。
ただし、条件\(C_1+C_2\)とは、たとえば、条件\(C_1\)が”各点で\(\phi_1(\mathbf{r})\)が連続で位置\(r_0\)において\(\phi_1(\mathbf{r}_0)=a_1\)”、条件\(C_2\)が”各点で\(\phi_2(\mathbf{r})\)が連続で位置\(r_0\)において\(\phi_2(\mathbf{r}_0)=a_2\)”であるときならば、条件\(C_1+C_2\)は”各点で\(\phi(\mathbf{r})\)が連続で位置\(r_0\)において\(\phi(\mathbf{r}_0)=a_1+a_2\)である”といったように、各条件の和に対応する条件とする。

証明　はじめの仮定より、ポアソンの方程式について
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
-\nabla^2 \phi_1(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho_1(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0} \\
-\nabla^2 \phi_2(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho_2(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
$$
が成り立つ。式の両辺を足すと、
$$
-\nabla^2 \{ \phi_1(\boldsymbol{r})+\phi_2(\boldsymbol{r}) \} = \frac{\rho_1(\boldsymbol{r})+\rho_2(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
$$であるので、\(\phi(\boldsymbol{r})=\phi_1(\boldsymbol{r})+\phi_2(\boldsymbol{r})\)はたしかに\(\rho_1(\boldsymbol{r})+\rho_2(\boldsymbol{r})\)に対する一つのポアソンの方程式の解である。
境界条件に関しては、条件\(C_1\),\(C_2\),\(C_1+C_2\)がディリクレ境界条件で与えられたとすると、これは境界上での電位を直接指定するので、\(\phi_1(\boldsymbol{r})\)が\(C_1\)、\(\phi_2(\boldsymbol{r})\)が\(C_2\)を満たすとすると、\(\phi_1(\boldsymbol{r})+\phi_2(\boldsymbol{r})\)は明らかに\(C_1+C_2\)を満たしている。
条件\(C_1\),\(C_2\),\(C_1+C_2\)がノイマン境界条件で与えられたとすると、これも境界上での電位の法線方向微分を直接指定するので、同様に\(\phi_1(\boldsymbol{r})+\phi_2(\boldsymbol{r})\)は明らかに\(C_1+C_2\)を満たしている。
考えている領域の境界を除く部分における電荷分布および、境界条件を満たすのであれば、どのように求めてもすべて一致するので、電荷分布\(\rho_1(\boldsymbol{r})+\rho_2(\boldsymbol{r})\)と境界条件\(C_1+C_2\)に対するポアソンの方程式の解は\(\phi(\boldsymbol{r})=\phi_1(\boldsymbol{r})+\phi_2(\boldsymbol{r})\)である。□

静電場の基本法則

静電場の基本法則
電場と電位の関係およびポアソンの方程式の２式
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} = – \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \\
-\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
$$と、静電場におけるガウスの法則および渦なしの法則の２式
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0} \\
\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \mathbf{0}
\end{cases}
\end{equation}
$$は、等価である。

証明　先の２式を(*)、あとの２式を(#)とすると、(*)を正しいと認めると(#)を導くことができ、また(#)を正しいと認めると(*)を導くことができることを示せばよい。
(*)を正しいと認めると、第２式に第１式を代入する形で、
$$
\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0} = -\nabla^2 \phi(\boldsymbol{r}) = -\nabla \cdot \{ \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \}= -\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})
$$より、ガウスの法則を導ける。また、第１式の両辺の回転をとると、
$$
\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\nabla \times \{ \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \}
$$右辺の\(x\)成分は
$$
[-\nabla \times \{ \nabla \phi(\boldsymbol{r}) \}]_x = -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial y}=0 \quad ∵\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial y}
$$\(y\),\(z\)成分も対称的に０であるので、\(\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \mathbf{0}\)より、渦なしの法則も導ける。

一方で、(#)を正しいと認めると、ポアンカレの補題により、ベクトル場の回転が\(\mathbf{0}\)であるならば、そのベクトル場はあるスカラー関数の勾配として表現できることが保証されているので、渦なしの法則より、あるスカラー関数 \(\phi(\boldsymbol{r})\) が存在し、
$$
\boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})
$$とかくことができる。この式を、ガウスの法則\(\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_0}\) に代入すると、
$$
\nabla \cdot (-\nabla \phi) = -\nabla^2 \phi = \frac{\rho}{\epsilon_0}
$$となり、(*)が導かれる。よって示された。□

これより、静電場におけるガウスの法則および渦なしの法則の２式は、必要な条件が与えられれば空間の静電場を完全に決定できる２式であるといえます。このため、この２式を静電場の基本法則としても扱います。

以上、静電場におけるポアソンの方程式と、その定理の証明になります。