電位 | タートルの備忘log

こんにちは、turtleです。現在電磁気学を学んでおりまして、その備忘録のような形でこのブログを書かせていただいております。基本的に大学の内容となっていますが、数式さえ乗り越えれば高校生でも理解できると思っていますので、どうぞよろしくお願いいたします。

物理的な量として、新たに電位を定義して、その性質を確認します。

電位

任意の電荷分布に対して、静電気力は保存力であるので、静止した電荷分布が形成されているとき、始点と終点を定めると、それを結ぶ任意の経路で単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事が一意に定まります。このとき、始点として基準点$\boldsymbol{r_0}$を一つ決めると、始点から各位置$\boldsymbol{r}$へ任意の経路で単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事は、位置$\boldsymbol{r}$のみに依存して決まる関数になるといえますので、この仕事の値を、$\boldsymbol{r_0}$を基準とした位置$\boldsymbol{r}$の電位$\phi(\boldsymbol{r})$と定義できます。

電位の定義
始点として基準点$\boldsymbol{r_0}$を一つ決めたときの、始点から各位置$\boldsymbol{r}$へ任意の経路で単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事を、$\boldsymbol{r_0}$を基準とした位置$\boldsymbol{r}$の電位$\phi(\boldsymbol{r})$と定義する。
なお、ふつう基準点$\boldsymbol{r_0}$は無限遠にとることとする。

電位について以下のようなことが成り立ちます。

ある位置$\boldsymbol{r’}$における電荷密度を$\rho(\boldsymbol{r’})$とすると、位置$\boldsymbol{r}$における電位$\phi(\boldsymbol{r})$は
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$

証明　位置$\boldsymbol{r_1}$,$\boldsymbol{r_2}$,…,$\boldsymbol{r_n}$に、点電荷$q_1$,$q_2$,…,$q_n$が静止しているとして、$q_1$,$q_2$,…$q_n$がそれぞれ単独で作る電場を$\boldsymbol{E}_1$,$\boldsymbol{E}_2$,…$\boldsymbol{E}_n$,…とすると、位置$\boldsymbol{r}$における電場は
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\sum_{1\le i\le n} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r_i}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r_i}|^3}
$$とかける。この電荷分布が形成されている空間において、無限遠$\boldsymbol{r}_\infty$から各位置$\boldsymbol{r}$へ任意の経路で単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事は、
$$
\phi(\boldsymbol{r})= -\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r} = -\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \left( \sum_{1\le i\le n} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \right) \cdot d\boldsymbol{r} = -\sum_{1\le i\le n} \displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}
$$ここで、
$$
\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}
$$に対して、この線積分は経路に依存しないため、位置$\boldsymbol{r}$,$\boldsymbol{r}_i$を結んで無限遠までのびる直線経路での線積分を考えると、電荷$q_i$からの距離$r=|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|$を被積分変数にとって、
$$
\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r} = \displaystyle \int_{\infty}^{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr =- \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|}
$$ゆえに、
$$
\phi(\boldsymbol{r})= \sum_{1\le i\le n} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|}
$$よって、連続的な電荷分布においては、点電荷$\rho(\boldsymbol{r’}) dV’$の集まりとみなせるので、和は積分に書き換えて次が成り立つことが分かる。
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$これははじめに与えた表式であるので、これより示された。□

電場と電位の関係
ある位置$\boldsymbol{r}$における電場を$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$、電位を$\phi(\boldsymbol{r})$すると、
$$
\boldsymbol{E(\boldsymbol{r})} = – \nabla \phi(\boldsymbol{r})
$$

証明　位置($x$,$y$,$z$)から位置($x+\Delta x$,$y$,$z$)へ、単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事$\Delta W$は、$\Delta x$が微小であるとき、
$$
\Delta W \simeq -\boldsymbol{E}(x,y,z) \cdot \Delta x \boldsymbol{e}_x = – E_x(x,y,z) \Delta x
$$電位の定義より、位置($x$,$y$,$z$)から位置($x+\Delta x$,$y$,$z$)へ、単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事$\Delta W$は、位置($x$,$y$,$z$)を基準とした位置($x+\Delta x$,$y$,$z$)の電位$\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)$に等しいので、これより、
$$
E_x \simeq -\frac{\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)}{\Delta x}
$$等号は$\Delta x \rightarrow 0$のときに成立し、
$$
E_x = -\frac{\partial \phi}{\partial x}
$$$y$方向や$z$方向にも同様に、$E_y = -\frac{\partial \phi}{\partial y}$、$E_z = -\frac{\partial \phi}{\partial z}$が成立するので、
$$
\boldsymbol{E(\mathbf{r})} = – \nabla \phi(\mathbf{r})
$$これははじめに与えた表式であるので、これより示された。□