連続体のラグランジアン

図２.２.17のような、有限の質点の連成振動系を考えると、定理２.２.３よりこの系のラグランジアンとして(運動エネルギー\(K\))\(-\)(ポテンシャルエネルギー\(V\))を採用できる。
まず、各質点\(\Phi_j\)の質量は\(m\)、速度は\(\dot{\Phi}_j\)なので、全体の運動エネルギーは$$
K = \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{\Phi}_j^2
$$とかくことができる。続いて、両端が壁に固定されているため、壁の変位を\(\Phi_0 = 0\)、\(\Phi_{N+1} = 0\)と書くことにすると、ばねの自然長は０であるため、質点\(\Phi_{j-1}\)と\(\Phi_j\)の間のばねの伸びは\(\Phi_j – \Phi_{j-1}\)となるから、系全体の弾性エネルギーは
$$
V = \sum_{j=1}^{N+1} \frac{1}{2} k (\Phi_j – \Phi_{j-1})^2
$$とかくことができる。これらから、\(N\)個の質点系のラグランジアン\(L_N\)としては
$$
L_N = \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{\Phi}_j^2 – \sum_{j=1}^{N+1} \frac{1}{2} k (\Phi_j – \Phi_{j-1})^2
$$を採用できるといえる。

ここから連続極限をとることを考える。質点間の釣り合いの距離を\(a\)とすると、\(l = (N+1)a\)、\(m = \rho a\)、\(k = T/a\)とかけるから、
$$
L_N = \sum \left\{ \frac{1}{2} (\rho a) \dot{\Phi}_j^2 – \frac{1}{2} \left( \frac{T}{a} \right) (\Phi_j – \Phi_{j-1})^2 \right\} = \sum a \left\{ \frac{1}{2} \rho \dot{\Phi}_j^2 – \frac{1}{2} T \left( \frac{\Phi_j – \Phi_{j-1}}{a} \right)^2 \right\}
$$に対して、\(N \to \infty\)とすると、位置の指標\(j\)は連続的な空間座標\(x\)に、離散的な変位 \(\Phi_j(t)\)は場の変位\(\Phi(x,t)\)に、\(\dot{\Phi}_j\)は時間偏微分\(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\)に、\(\frac{\Phi_j – \Phi_{j-1}}{a}\)は位置の微小変化に対する変位の変化率なので空間偏微分\(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\)に、和は積分になって、
$$
\lim_{N \to \infty} L_N = L = \int_{x=0}^{x=l} dx \left[ \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)^2 – \frac{1}{2} T \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 \right]
$$とかける。これより示された。□

まず、ラグランジアン密度\(\mathcal{L}\)を用いた作用\(S\)は、\(x_1\)から\(x_2\)までの空間の積分と、\(t_1\)から \(t_2\)までの時間の積分の二重積分として次のように定義される。
$$
S = \int_{t_1}^{t_2} dt \int_{x_1}^{x_2} dx \, \mathcal{L} \left( \Phi, \frac{\partial \Phi}{\partial x}, \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)
$$ここで、現実の物理的な運動\(\Phi(x,t)\)に対して、\(\delta \Phi(x, t_1) = \delta \Phi(x, t_2) = 0, \delta \Phi(x_1, t) = \delta \Phi(x_2, t) = 0\)を満足する、つまり時間的あるいは空間的な境界を固定した仮想的な微小変化\(\delta \Phi(x,t)\)をさせた経路\(\Phi+\delta \Phi\)を考えると、作用はその定義より対応する変分\(\delta S\)がゼロになる。
一方で、この変分\(\delta S\)を二重積分の表式から計算すると、ラグランジアン密度\(\mathcal{L}\)の、\(\Phi, \frac{\partial \Phi}{\partial x}, \frac{\partial \Phi}{\partial t}\) の3つの変数についての多変数関数のテイラー展開を用いて、
\begin{align}
\delta S &= \int_{t_1}^{t_2} dt \int_{x_1}^{x_2} dx \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi} \delta \Phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \delta \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \delta \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) \right\} \\
&= \int_{t_1}^{t_2} dt \int_{x_1}^{x_2} dx \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi} \delta \Phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \frac{\partial}{\partial x} (\delta \Phi) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \frac{\partial}{\partial t} (\delta \Phi) \right\} \\
&= \int_{t_1}^{t_2} dt \int_{x_1}^{x_2} dx \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi} – \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \right) – \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \right) \right\} \delta \Phi
\end{align}とかける。ただし、２つ目の等号は、極限の定義を考えると、
$$
\delta \left( \frac{\partial}{\partial a} \Phi(a) \right) = \lim_{a_2 \to a_1} \left( \frac{\left( \Phi(a_2)+\delta \Phi(a_2) \right) – \left( \Phi(a_1)+\delta \Phi(a_1) \right)}{a_2-a_1} – \frac{\Phi(a_2) – \Phi(a_1)}{a_2-a_1} \right) = \frac{\partial}{\partial a} \delta \Phi(a)
$$より、変分の微分と微分の変分が等しいこと、つまり変分と偏微分の順序を入れ替えることができること、３つ目の等号は、第２項については空間について部分積分を行うことで、
$$
\int_{x_1}^{x_2} dx \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \frac{\partial}{\partial x} (\delta \Phi) \right] = \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \delta \Phi \right]_{x_1}^{x_2} – \int_{x_1}^{x_2} dx \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \right) \delta \Phi \right]
$$となること、第３項については時間について部分積分を行うことで、
$$
\int_{t_1}^{t_2} dt \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \frac{\partial}{\partial t} (\delta \Phi) \right] = \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \delta \Phi \right]_{t_1}^{t_2} – \int_{t_1}^{t_2} dt \left[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \right) \delta \Phi \right]
$$となることを用いた。さて、任意の変分\(\delta \Phi\)に対して、\(\delta S = 0\)が成り立つことから、変分法の基本補題より、中括弧\(\{\quad\}\)の中身自体がすべての\(x, t\)において恒等的にゼロでなければならないので、以下が成り立つことが示される。
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi} – \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \right) – \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)} \right) = 0
$$□