正準変換とは結局なんなのか

変換\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow \Big(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t), \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t) \Big)\)が正準変換であるならば、その定義より\(i=1,2,…,N\)に対して、
$$
\delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = 0 \qquad \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt = 0
$$が成り立つ。変分をとってゼロになる関数どうしというのは完全に同じ関数である必要はなく、任意の関数\(F\)の時間による全微分\(\frac{dF}{dt}\)だけのずれが許容されるので、\(i=1,2,…,N\)に対して、
$$
\sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H = \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K + \frac{dF}{dt}
$$すなわち、\(\sum_{i=1}^N p_i dq_i – Hdt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – Kdt + dF\)を満たす関数\(F,K\)が存在することが示された。□

前提として、現実の運動は最小作用の原理を満足するので作用積分の変分はゼロ、つまり、
$$
\delta S = \delta \int L dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = 0 \qquad \text{(a)}
$$となるが、この変分計算からハミルトンの正準方程式を得ることができることを後で用いる。
さて、(Ⅱ)の式の両辺を微小時間\(dt\)で割ると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H = \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K + \frac{dF}{dt}
$$となり、この式の両辺を、時間\(t_1\)から\(t_2\)まで積分すると、
$$
\int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt + \int_{t_1}^{t_2} \frac{dF}{dt} dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt + F(t_2) – F(t_1)
$$とかける。さらに、この式の両辺の、始点\(t_1\)と終点\(t_2\)を固定したときの変分をとると、
$$
0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – H \right) dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt
$$となる。ただし１つめの等号は式(a)を、２つ目の等号は\(\delta F(t_2) = \delta F(t_1) = 0\)を用いた。ここで得られた
$$
0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^N P_i \dot{Q}_i – K \right) dt
$$について、この変分計算から新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)とハミルトニアン\(K\)におけるハミルトンの正準方程式
$$
\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} \qquad (i=1,2,…,N)
$$を得ることができるので、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理２.２より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は独立であるから、\(F\)の引数として\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分\(dF\)は
$$
dF = \sum_{i=1}^N \frac{\partial F}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial F}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial F}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
p_i= \frac{\partial F}{\partial q_i} \qquad P_i= -\frac{\partial F}{\partial Q_i} \qquad K = H + \frac{\partial F}{\partial t}
$$となるから、\(W=F\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial q_i\)や\(\partial W/\partial Q_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dW
$$とかけるから、定理２.２の\(F\)を\(W\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理２.２より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N P_iQ_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N p_i dq_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
p_i= \frac{\partial G}{\partial q_i} \qquad Q_i= \frac{\partial G}{\partial P_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial q_i\)や\(\partial W/\partial P_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{q}\)と\(\boldsymbol{P}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial q_i} dq_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N p_i dq_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W – \sum_{i=1}^N P_i Q_i \right)
$$とかけるから、定理２.２の\(F\)を\(W – \sum_{i=1}^N P_i Q_i\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理２.２より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N p_iq_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
q_i= -\frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad P_i= -\frac{\partial G}{\partial Q_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial p_i\)や\(\partial W/\partial Q_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{Q}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{Q}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial Q_i} dQ_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N -P_i dQ_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W – \sum_{i=1}^N p_i q_i \right)
$$とかけるから、定理２.２の\(F\)を\(W – \sum_{i=1}^N p_i q_i\)としたものとして、示された。□

(Ⅰ)の仮定よりこの変換は正準変換であるので、定理２.２より、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + dF
$$を満たす関数\(F\)が必ず存在する。これを移項すると、
$$
dF = \sum_{i=1}^N p_i dq_i – \sum_{i=1}^N P_i dQ_i + (K – H) dt
$$となるから、新たに関数\(G=F-\sum_{i=1}^N P_iQ_i-\sum_{i=1}^N p_iq_i\)を定義すると、
$$
dG = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K – H) dt \qquad \text{(a)}
$$となる。一方で、\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)は独立であるから、\(G\)の引数として\((\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の組を選ぶことができるので、数学的に関数\(G(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分\(dG\)は
$$
dG = \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial G}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial G}{\partial t} dt \qquad \text{(b)}
$$とかける。(a)式と(b)式の係数を比較することで、
$$
q_i= -\frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad Q_i= \frac{\partial G}{\partial P_i} \qquad K = H + \frac{\partial G}{\partial t}
$$となるから、\(W=G\)として示された。□

(Ⅱ)の仮定において、関数\(W\)が\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)と\(t\)を変数に持っており、偏微分\(\partial W/\partial p_i\)や\(\partial W/\partial P_i\)がそれぞれ意味を持って定義されていることから、変数\(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{P}\)は互いに独立に動かせる変数である。よって、関数\(W(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{P}, t)\)の全微分は、
$$
dW = \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial p_i} dp_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial W}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial W}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^N -q_i dp_i + \sum_{i=1}^N Q_i dP_i + (K-H) dt
$$とかける。ただし、２つめの等号は(Ⅱ)の仮定を用いた。この式を整理して移項すると、
$$
\sum_{i=1}^N p_i dq_i – H dt = \sum_{i=1}^N P_i dQ_i – K dt + d\left( W -\sum_{i=1}^N P_iQ_i- \sum_{i=1}^N p_i q_i \right)
$$とかけるから、定理２.２の\(F\)を\(W -\sum_{i=1}^N P_iQ_i- \sum_{i=1}^N p_i q_i\)としたものとして、示された。□

\(2N\)個の古い変数\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)と、新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)を、それぞれ縦ベクトル\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{X}\)にまとめて
$$
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{p} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{Q} \\ \boldsymbol{P} \end{pmatrix}
$$とかくと、このとき古い変数におけるハミルトンの正準方程式\(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)は、
$$
\dot{\boldsymbol{x}} = J (\nabla_{\boldsymbol{x}} H) \qquad \text{(a)}
$$だけでかける。また、変換\(\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{X}\)が正準変換であるとすると、新しい変数\(\boldsymbol{X}\)においても、新しいハミルトニアン\(K\)に対してハミルトンの正準方程式の形が保たれるということなので、同様にして、
$$
\dot{\boldsymbol{X}} = J (\nabla_{\boldsymbol{X}} K) \qquad \text{(b)}
$$が成り立っている。さて、合成関数の微分より、\(\dot{\boldsymbol{X}} = M \dot{\boldsymbol{x}}\)および\((\nabla_{\boldsymbol{x}} H) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)であることを、(a)式に代入すると、
$$
\dot{\boldsymbol{X}} = M J {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K) \qquad \text{(c)}
$$とかけるので、(b)式と(c)式の係数を比較して、\(M J {}^t \! M = J\)が得られた。□

先の証明と同様に、\(2N\)個の古い変数\((\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)と、新しい変数\((\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})\)を、それぞれ縦ベクトル\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{X}\)にまとめて
$$
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{p} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{Q} \\ \boldsymbol{P} \end{pmatrix}
$$とかくと、このとき古い変数におけるハミルトンの正準方程式\(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)は、
$$
\dot{\boldsymbol{x}} = J (\nabla_{\boldsymbol{x}} H)
$$だけでかける。合成関数の微分より、\(\dot{\boldsymbol{X}} = M \dot{\boldsymbol{x}}, \quad (\nabla_{\boldsymbol{x}} H) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)であること、および(Ⅱ)の仮定である\(M J {}^t \! M = J\)を用いると、新しい変数における正準方程式\(\dot{\boldsymbol{X}} = J (\nabla_{\boldsymbol{X}} K)\)が導かれるため、示された。□

定理３.１をふまえて、定理３.１の(Ⅱ)→定理３.２の(Ⅱ)を示す、つまり、「定理３.１で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立っているとき、\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立つこと」を示すことにする。
新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)をすべての\(i, j\)の組み合わせで計算し、行列の形に並べたものは、数学の定義から自動的に\(M J {}^t \! M^T\)という行列になるので、\(M J M^T = J\)より、
\(\{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の左上のブロックの成分なのでたしかに０
\(\{P_i, P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の右下のブロックの成分なのでたしかに０
\(\{Q_i, P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は行列\(M J M^T = J\)の右上のブロックの成分なのでたしかに\(\delta_{ij}\)であることが示された。□

定理３.１をふまえて、定理３.２の(Ⅱ)→定理３.１の(Ⅱ)を示す、つまり、「\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立っているとき、定理３.１で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立つこと」を示すことにする。
新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)をすべての\(i, j\)の組み合わせで計算し、行列の形に並べたものは、数学の定義から自動的に\(M J {}^t \! M^T\)という行列になる。一方で、定理３.２の(Ⅱ)の仮定より、新しい変数同士のポアソン括弧\(\{X_i, X_j\}\)を\(2N \times 2N\)の行列の形に並べると、左上と右下のブロックは\(O\)、右上のブロックは単位行列\(I\)、左下のブロックは\(-I\)である行列\(J\)になるので、たしかに\(M J {}^t \! M^T = J\)となる。□

定理３.１をふまえて、定理３.１の(Ⅱ)→定理３.３の(Ⅱ)を示す、つまり、「定理３.１で定義した行列に対して\(M J {}^t \! M^T = J\)が成り立っているとき、任意の関数\(A,B\)について、\(\{A,B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}=\{A,B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)が成り立つこと」を示すことにする。
任意の関数\(A,B\)について、古い変数同士のポアソン括弧\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)は、数学の定義から自動的に\({}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{x}}A)J(\nabla_{\boldsymbol{x}}B)\)とかけ、同様に、新しい変数同士のポアソン括弧\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}\)は、\({}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}}A)J(\nabla_{\boldsymbol{X}}B)\)とかける。さて、合成関数の微分より、\((\nabla_{\boldsymbol{x}} A) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} A)\)および\((\nabla_{\boldsymbol{x}} B) = {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B)\)であることを用いると、
$$
\{A, B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} = {}^t \! \left( {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) \right) J \left( {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) \right) = {}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) M J {}^t \! M (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) = {}^t \! (\nabla_{\boldsymbol{X}} A) J (\nabla_{\boldsymbol{X}} B) = \{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}
$$とかけるので示された。ただし、２つ目の等号は定理３.１の(Ⅱ)の仮定、３つ目の等号は先に述べた\(\{A, B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}\)の数学的書き換えを用いている。□

定理３.２をふまえて、定理３.３の(Ⅱ)→定理３.２の(Ⅱ)を示す、つまり、「任意の関数\(A,B\)について、\(\{A,B\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})}=\{A,B\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}\)が成り立っているとき、\(i,j=1,2,…,N\)に対して、\(\{Q_i,Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_{ij}\)が成り立つこと」を示すことにする。
\(A\)として新しい座標\(Q_i\)、\(B\)として新しい座標\(Q_j\)を選ぶことにすると、
$$
\{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} = \{Q_i, Q_j\}_{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})} = \sum_{k=1}^N \left( \frac{\partial Q_i}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_j}{\partial P_k} – \frac{\partial Q_i}{\partial P_k} \frac{\partial Q_j}{\partial Q_k} \right) = \sum_{k=1}^N (\delta_{ik} \cdot 0 – 0 \cdot \delta_{jk}) = 0
$$となる。ただし、１つ目の等号は定理３.３の(Ⅱ)の仮定を、３つ目の等号は新しい座標系の中において、\(Q\)と\(P\)がそれぞれ独立した変数であるため、自分自身で微分すれば\(1\)、違う変数で微分すれば\(0\)になることを用いている。同様にして、\(\{P_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})}=0\),　\(\{Q_i,P_j\}_{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} =\delta_ij\)が成り立つので、示される。□