導体における電磁場

導体内部の電子について、運動方程式を立てると、
$$
m \frac{d \boldsymbol{v}}{dt}=-e \boldsymbol{E} -\alpha \boldsymbol{v}
$$となる。これは\(\boldsymbol{v}\)に関する１階微分方程式であるので、はじめ(\(t=0\))で静止していたとすると、
$$
\boldsymbol{v}=\frac{-e}{\alpha}\boldsymbol{E} \left( 1+e^{-(\alpha/m)t} \right)
$$と表せるため、十分時間がたったとき電子の速度は\((-e/\alpha)\boldsymbol{E}\)に収束する。
一方で、電流\(\boldsymbol{I}\)は、正電荷の流れる方向を向き、単位時間あたりに通過する電荷量を大きさとするベクトル量として定義されるので、電子が単位時間で\(v\)だけ進むことをふまえると、ある断面を単位時間あたりに通過する電子の数は、その断面から電子の進行方向とは逆の向きに距離\(v\)だけ進んだところまでの体積\(Sv\)の円柱に含まれる電子の数\(nSv\)に等しくなる。電流の向きと電子の進む向きは逆であるので、
$$
\boldsymbol{I}=-enS \boldsymbol{v}
$$として表され、電流密度は定義よりこれを\(S\)で割ったものになる。これらの速度と電流の表式から、導体中における電流密度\(\boldsymbol{j}\)は、
$$
\boldsymbol{j}=\frac{ne^2}{\alpha}\boldsymbol{E}
$$と表せる。ここで、\(ne^2/\alpha\)は導体の具体的な構造や温度などによって定まる定数であるので、これを導体依存の定数\(\sigma\)とすると、以下が得られる。
$$
\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})=\sigma \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})
$$□

系２.４.10の第３式の回転をとると、
$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{B})
$$ベクトル解析の公式\(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = – \nabla^2 \boldsymbol{E} + \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{E})\)と、系２.４.10の第１式\(\nabla \cdot \boldsymbol{E}=0\)、第４式\( \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu \sigma \boldsymbol{E} + \mu \epsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \)を用いると、以下のようになる。
$$
\nabla^2 \boldsymbol{E} = \mu \sigma \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} + \mu \epsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}
$$同様に、系２.４.10の第４式の回転をとると、
$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{B}) = \nabla \times \left( \mu \sigma \boldsymbol{E} + \mu \epsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) = \mu \sigma (\nabla \times \boldsymbol{E}) + \mu \epsilon \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{E})
$$ベクトル解析の公式\(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{B}) = – \nabla^2 \boldsymbol{B} + \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{B})\)と、定理２.４.９の第２式\(\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\)、第３式\( \nabla \times \boldsymbol{E} = – \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \)を用いると、以下のようになる。
$$
\nabla^2 \boldsymbol{B} = \mu \sigma \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} + \mu \epsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2}
$$□

電磁波が\(z\)軸方向に進む平面波であると仮定して、電場\(\boldsymbol{E}\)と磁場\(\boldsymbol{B}\)を複素表示の実部として以下のように置く。
$$
\boldsymbol{E}(z, t) = Re \left[ \tilde{\boldsymbol{E}}(z, t) \right] =Re \left[ \tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z – \omega t)} \right]
$$$$
\boldsymbol{B}(z, t) = Re \left[ \tilde{\boldsymbol{B}}(z, t) \right] = Re \left[ \tilde{\boldsymbol{B}}_0 e^{i(\tilde{k}z – \omega t)} \right]
$$ただし、\(\omega\)は角振動数、\(\tilde{k}\)は複素波数(導体中では波数も複素数として扱う)、\(\tilde{\boldsymbol{E}}_0\)と\(\tilde{\boldsymbol{B}}_0\)は複素振幅である。定理２.４.Ｍ.11より、電場と磁場は同じ波動方程式を満たすため、これ以降はとくに電場について扱うが、磁場についても同じ議論が成り立つ。
計算すると、\(\nabla^2 \boldsymbol{E}(z, t) = -\tilde{k}^2 \boldsymbol{E}(z, t)\), \(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E}(z, t) = -i\omega \boldsymbol{E}(z, t)\), \(\frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}(z, t) = -\omega^2 \boldsymbol{E}(z, t)\)となるので、これを定理２.４.Ｍ.11の第１式に代入すると、
$$
-\tilde{k}^2 \tilde{\boldsymbol{E}}_0 = \mu \sigma (-i\omega) \tilde{\boldsymbol{E}}_0 + \mu \epsilon (-\omega^2) \tilde{\boldsymbol{E}}_0
$$となり、両辺を\(\tilde{\boldsymbol{E}}_0\)で約分して整理すると、複素波数の二乗 \(\tilde{k}^2\)に関する分散関係の式\(\tilde{k}^2 = \mu \epsilon \omega^2 + i \mu \sigma \omega\)が得られる。
\(\tilde{k} = k + i\kappa\)(\(k\), \(\kappa\)は実数)とすると、先の平面波の式に戻して、
$$
\tilde{\boldsymbol{E}(z, t)} = \tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{i((k + i\kappa)z – \omega t)} = \left( \tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{-\kappa z} \right) e^{i(kz – \omega t)}
$$となるので、カッコでくくった部分は波数\(k\)で伝播する波を示す一方、\(e^{-\kappa z}\)の部分は、距離\(z\)が進むにつれて、導体中の電磁波の振幅が指数関数的に減衰していくことを示していることがわかる。電磁波の振幅は\(e^{-\kappa z}\)に従って減衰することから、距離\(z\)が\(\delta = 1/\kappa\)進むと、振幅が表面での値の\(1/e\)になるといえる。

さて、\(\tilde{k}^2 = \mu \epsilon \omega^2 + i \mu \sigma \omega\)とかける一方、\(\tilde{k}^2 = (k + i\kappa)^2 = (k^2 – \kappa^2) + i(2k\kappa)\)であったため、実部と虚部をそれぞれ比較すると、\(k^2 – \kappa^2 = \mu \epsilon \omega^2\), \(2k\kappa = \mu \sigma \omega\)となり、この２式を連立すると以下が得られる。
$$
k = \omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{2}} \left[ \sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon \omega}\right)^2} + 1 \right]^{1/2}
$$$$
\kappa = \omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{2}} \left[ \sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\epsilon \omega}\right)^2} – 1 \right]^{1/2}
$$良導体においては導電率\(\sigma\)が非常に大きいため、\(\sigma \gg \epsilon \omega\)が成立するので、この近似を用いると、
$$
\kappa \approx \omega \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{2}} \sqrt{\frac{\sigma}{\epsilon \omega}} = \sqrt{\frac{\omega^2 \mu \epsilon \sigma}{2 \epsilon \omega}} = \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}}
$$とかけるから、電磁波の振幅が表面での値の\(1/e\)になる深さ\(\delta\)は、\(1/\kappa = 2/\sqrt{\mu \sigma \omega}\)として示される。□