位相空間

位相空間上の時間発展の速度ベクトルは\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})\)であるが、正準方程式\(\dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p}_i= -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)より、\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})=(\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)として示された。□

位相空間上の時間発展の速度ベクトル\((\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)と、位相空間上のハミルトニアンの勾配\((\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H)\)の内積をとると、\(\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) – \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) = 0\)より示された。□

時刻\(t\)を直接の変数として含まないハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)の時間による全微分は、合成関数の微分より、
$$
\frac{dH}{dt} = \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \dot{q}_i + \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i = (\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H) \cdot (\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}}) = (\nabla_{\boldsymbol{q}}H, \nabla_{\boldsymbol{p}}H) \cdot (\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H) = \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) – \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) = 0
$$となる。ただし、３つ目の等号は、正準方程式に従う運動において\((\dot{\boldsymbol{q}}, \dot{\boldsymbol{p}})=(\nabla_{\boldsymbol{p}}H, -\nabla_{\boldsymbol{q}}H)\)とかけることを用いた。ハミルトニアンの時間微分がゼロであることは、ハミルトニアンが時間変化に対して保存するということを意味するので、示された。□

位相空間上の速度ベクトル場\(\left( \frac{\partial H}{\partial p}, -\frac{\partial H}{\partial q} \right) \)の発散をとると、以下のように示される。
$$
\nabla \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial H}{\partial p} \\ -\frac{\partial H}{\partial q} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} – \frac{\partial}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0
$$□

いま位相空間内の微小超直方体領域\(D\)として、
$$
[q_1, q_1+\delta q_1] \times [q_2, q_2+\delta q_2] \times … [q_N, q_N+\delta q_N] \times [p_1, p_1+\delta p_1] \times [p_2, p_2+\delta p_2] \times … [p_N, p_N+\delta p_N]
$$を考えたとき、正準方程式にしたがう\(\delta t\)秒間の時間発展によってこの領域の形状は変化するが、位相空間における超体積は変化しないことを示せばよい。位相空間の座標について\(\boldsymbol{x} = (q_1,…, q_N, p_1,…, p_N)\)とおき、また各点での位相空間上の速度ベクトルを\(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) = (\dot{q}_1,…, \dot{q}_N, \dot{p}_1, …, \dot{p}_N)\)とかくこととする。さて、正準方程式にしたがう\(\delta t\)秒間の時間発展によって、
はじめ\(\boldsymbol{x}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})\delta t\)に、
はじめ\(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j})\delta t = \boldsymbol{x} + \delta q_j \boldsymbol{e}_{q_j} + \left( \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_j}\delta q_j \right)\delta t\)に、
はじめ\(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j}\)にいた粒子は\(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j} + \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j})\delta t = \boldsymbol{x} + \delta p_j \boldsymbol{e}_{p_j} + \left( \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial p_j}\delta p_j \right)\delta t\)に移動するので、\(\delta t\)秒後の領域\(D\)は超平行多面体となる。この超平行多面体をつくる新しい\(2N\)本のベクトルは、移動後の各点からベクトルの引き算をすると求められ、
$$
\left\{ \boldsymbol{E}_{q_j} \right\}_{j=1}^N = \left\{ \left( \boldsymbol{e}_{q_j} + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial q_j}\delta t \right) \delta q_j \right\}_{j=1}^N \qquad \left\{ \boldsymbol{E}_{p_j} \right\}_{j=1}^N =\left\{ \left( \boldsymbol{e}_{p_j} + \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial p_j}\delta t \right) \delta p_j \right\}_{j=1}^N
$$となる。この超平行多面体の超体積\(V’\)を求める。線形代数の定理より、超体積\(V’\)は、新しい辺のベクトルを列ベクトルとして並べた行列の行列式の絶対値になることが示されているから、
\begin{align*}
&V’ = \left| \det \left( \boldsymbol{E}_{q_1} \boldsymbol{E}_{q_2} … \boldsymbol{E}_{q_N} \boldsymbol{E}_{p_1} \boldsymbol{E}_{p_2} … \boldsymbol{E}_{p_N} \right) \right| = \left| \space \det \left[ \begin{pmatrix} \delta q_1 + \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \\ \left( \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \\ \vdots \\ \left( \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta q_1 \right)\delta t \end{pmatrix} … \begin{pmatrix} \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \\ \left( \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \\ \vdots \\ \delta p_N + \left( \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta p_N \right)\delta t \end{pmatrix} \right] \right| \\[4pt]
&= \left| \space \det \left[ \delta q_1 \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t \\ \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial q_1} \delta t \\ \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t \end{pmatrix} … \delta p_N \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \frac{\partial \dot{q}_2}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots \\ 1+ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right] \right|\\[4pt]
&= (\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N) \times \left| \det \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t & \dots & \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t & \dots & 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right| = (\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N)
\end{align*}とかける。ただし、５つ目の等号は、微小量\(\delta t\)については２次以上の項を捨てているので、行列式の計算は対角成分の積に他ならないことから、
\begin{align*}
&\left| \det \begin{pmatrix} 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t & \dots & \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial p_N} \delta t \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial q_1} \delta t & \dots & 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \end{pmatrix} \right| \approx \left( 1 + \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} \delta t \right) \times \dots \times \left( 1 + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \delta t \right) \\
&\approx 1 + \left( \frac{\partial \dot{q}_1}{\partial q_1} + \dots + \frac{\partial \dot{q}_N}{\partial q_N} + \frac{\partial \dot{p}_1}{\partial p_1} + \dots + \frac{\partial \dot{p}_N}{\partial p_N} \right) \delta t = 1+ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \right) \\
&= 1+ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right) + \frac{\partial}{\partial p_i}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) \right) = 1
\end{align*}という計算が成り立つことを用いている。ただし、この計算の４つ目の等号は正準方程式を用いている。\((\delta q_1 \dots \delta q_N \delta p_1 \dots \delta p_N)\)というのはもとの超直方体の超体積より、新しい超平行多面体ともとの超直方体の超体積が等しいことがいえたので、以上より示された。□