ラグランジュ力学を連続体に拡張する

先に述べたように、ラグランジアン密度\(\mathcal{L}\)を用いた作用\(S\)は、時間\(t\)および空間体積\(V\)に関する二重積分として、
$$
S = \int_{t_1}^{t_2} L dt = \int_{t_1}^{t_2} \int_V \mathcal{L}\left(\phi, \nabla\phi, \dot{\phi}, t\right) d\boldsymbol{x} dt
$$と定義される。ここで、現実の場の変動\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)に対して、時間と空間の境界を固定した仮想的な微小変化\(\delta \phi(\boldsymbol{x},t)\)をさせた経路\(\phi+\delta \phi\)を考えると、対応する作用の変分\(\delta S\)がゼロになる。
一方で、この変分\(\delta S\)を二重積分の表式から計算すると、ラグランジアン密度\(\mathcal{L}\)の、変数\(\phi, \nabla\phi, \dot{\phi}=\frac{\partial \phi}{\partial t}\)についての多変数関数のテイラー展開を用いて、
\begin{align}
\delta S &= \int_{t_1}^{t_2} \int_V \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta\phi + \sum_{j=1}^N \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right)}\delta \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)} \delta\left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) \right\} \, d\boldsymbol{x} \, dt \\
&= \int_{t_1}^{t_2} \int_V \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi} \delta \phi + \sum_{j=1}^N \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \right)} \frac{\partial}{\partial x_j} (\delta \phi) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)} \frac{\partial}{\partial t} (\delta \phi) \right\} \, d\boldsymbol{x} \, dt \\
&= \int_{t_1}^{t_2} \int_V \left\{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} – \sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right)} \right) – \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)} \right) \right\} \delta \phi \, d\boldsymbol{x} \, dt \\
\end{align}とかける。ただし、２つ目の等号は、極限の定義を考えると、
$$
\delta \left( \frac{\partial}{\partial a} \Phi(a) \right) = \lim_{a_2 \to a_1} \left( \frac{\left( \Phi(a_2)+\delta \Phi(a_2) \right) – \left( \Phi(a_1)+\delta \Phi(a_1) \right)}{a_2-a_1} – \frac{\Phi(a_2) – \Phi(a_1)}{a_2-a_1} \right) = \frac{\partial}{\partial a} \delta \Phi(a)
$$より、変分の微分と微分の変分が等しいこと、つまり変分と偏微分の順序を入れ替えることができること、３つ目の等号は、第２項の各\(j\)については空間について部分積分を行うことで、
\begin{align*}
\int_{x_{j,1}}^{x_{j,2}} dx_j \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right)} \frac{\partial}{\partial x_j} (\delta \phi) \right] &= \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right)} \delta \phi \right]_{x_{j,1}}^{x_{j,2}} – \int_{x_{j,1}}^{x_{j,2}} dx_j \left[ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \right)} \right) \delta \phi \right] \\
&= – \int_{x_{j,1}}^{x_{j,2}} dx_j \left[ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \right)} \right) \delta \phi \right]
\end{align*}となること、第３項については時間について部分積分を行うことで、
\begin{align*}
\int_{t_1}^{t_2} dt \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \frac{\partial}{\partial t} (\delta \phi) \right] &= \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \delta \Phi \right]_{t_1}^{t_2} – \int_{t_1}^{t_2} dt \left[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \right) \delta \Phi \right] \\
&= – \int_{t_1}^{t_2} dt \left[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)} \right) \delta \Phi \right]
\end{align*}となることを用いた。さて、任意の変分\(\delta \phi\)に対して、\(\delta S = 0\)が成り立つことから、変分法の基本補題より、中括弧\(\{\quad\}\)の中身自体がすべての\(\boldsymbol{x}, t\)において恒等的にゼロでなければならないので、以下が成り立つことが示される。
$$
\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \right) + \sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial x_j}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{x_j}\phi)} \right) – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0
$$□