ラグランジュ力学を実際に使ってみる①

この証明は、親記事のこちらで扱っているものの前半である。
定義１.１にしたがって、物理系の自由度や対称性、相互作用を正しく表すようなラグランジアン\(L(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t)\)を選ぶので、ここでは古典力学の要請である、時間の一様性、空間の一様性、空間の等方性、そしてガリレイの相対性原理を満たすようにする。
時間と空間の一様性より、ラグランジアン\(L\)は時刻\(t\)と位置\(\boldsymbol{r}\)を直接の変数としては含まず、かつ空間の等方性より、ラグランジアン\(L\)に含まれる速度\(\dot{\boldsymbol{r}}\)はその符号に依存しないため、\(L\)は速度の大きさの２乗\(|\dot{\boldsymbol{r}}|^2\)の関数\(L(|\dot{\boldsymbol{r}}|^2)\)としてかける必要がある。
さらに、ガリレイの相対性原理「互いに等速直線運動するすべての慣性系において、物理法則は同じでなければならない」の要請を考える。微小な相対速度\(\boldsymbol{\epsilon}\)で動く別の慣性系から見た質点の速度は\(\dot{\boldsymbol{r}}’ = \dot{\boldsymbol{r}} + \boldsymbol{\epsilon}\)であるので、この慣性系からみた自由粒子のラグランジアン\(L’\)は、
$$
L’ = L(|\dot{\boldsymbol{r}} + \boldsymbol{\epsilon}|^2) = L(|\dot{\boldsymbol{r}}|^2) + \frac{\partial L}{\partial |\dot{\boldsymbol{r}}|^2} (2\dot{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{\epsilon})
$$とかけるわけだが、ここで次の２つの方程式から出てくる数式は同じでなくてはならない。
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} =0 \qquad \frac{\partial L’}{\partial q_i} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L’}{\partial \dot{q}_i} =0
$$親記事の定理２.５より、ラグランジアンに任意の関数\(G(\boldsymbol{q},t)\)の時間微分だけの不定性があっても、オイラー=ラグランジュ方程式の結果は変わらないことを用いると、
$$
L’ – L =\frac{\partial L}{\partial |\dot{\boldsymbol{r}}|^2} (2\dot{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{\epsilon})
$$が、ある関数の時間微分になっていればよいので、速度\(\dot{\boldsymbol{r}}\)が位置\(\boldsymbol{r}\)の時間微分であることをふまえると、\(\partial L / \partial |\dot{\boldsymbol{r}}|^2\)が質点に固有の定数\(C\)であればよいことになる。\(\partial L / \partial |\dot{\boldsymbol{r}}|^2 = C\)について、これを積分して、自由粒子のラグランジアンとして、\(L = C\dot|\dot{\boldsymbol{r}}|^2\)とかけると示された。□

先に準備として(a),(b)式を与える。
まず直交座標\(x_i\)は一般化座標\(\boldsymbol{q}\)と時間\(t\)の関数\(x_i(\boldsymbol{q}, t)\)として表されるので、これを時間で微分すると、速度\(\dot{x}_i\)は合成関数の微分より、
$$
\dot{x}_i = \frac{d x_i}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \frac{dt}{dt} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial x_i}{\partial t}
$$とかける。この\(\dot{x}_i\)を\(\dot{q}_k\)以外を定数とみなして偏微分すると、\(x_i\)は\(\boldsymbol{q}\)と時間\(t\)の関数であるため、\(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\)や\(\frac{\partial x_i}{\partial t}\)は\(\dot{\boldsymbol{q}}\)を引数に含まないから、合成関数の微分より、
$$
\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial x_i}{\partial t} \right) = \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \qquad \text{(a)}
$$が成り立つ。また(a)式の右辺、\(\partial x_i/\partial q_k\)を時間微分すると、これは\(\boldsymbol{q}\)と時間\(t\)の関数であるため、合成関数の微分より、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \right) = \sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \frac{dt}{dt} = \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \right) = \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_k} \qquad \text{(b)}
$$が成り立つことがわかる。では、式(a),(b)を与えたので証明に入る。
ラグランジアン\(L(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t)=K (\dot{\boldsymbol{r}}) + F ( \boldsymbol{r} )\)に対して、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0 \quad (j=1,2,3)
$$を計算する。\(L(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, t) = K (\dot{\boldsymbol{r}}) + F ( \boldsymbol{r} )\)を用いて変形すると、
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial K}{\partial \dot{q}_j} \right) – \frac{\partial K}{\partial q_j} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_j}\right) + \frac{\partial F}{\partial q_j} \quad (j=1,2,3)
$$とかける。この左辺について変形すると、
$$
\text{左辺} = \sum_{i=1}^3 \left[ \frac{d}{dt}\left( 2C \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} \right) – 2C \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \right] = \sum_{i=1}^3 \left[ \frac{d}{dt}\left( 2C \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \right) – 2C \dot{x}_i \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \right) \right] = \sum_{i=1}^3 2C \ddot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
$$となる。ただし、１つ目の等号は\(K\)の定義式、２つ目の等号は(a)式と(b)式、３つ目の等号は積の微分公式をそれぞれ用いている。
右辺については、\(F\)は位置\(\boldsymbol{r}\)のみの関数であったため、\(\dot{q}_j\)には依存しないことから、
$$
\text{右辺} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_j}\right) + \frac{\partial F}{\partial q_j} = \frac{\partial F}{\partial q_j}
$$となる。ゆえに、示された。□

定理２.２の結果の式に対して、右辺をさらに変形すると、合成関数の微分法より、
$$
\frac{\partial F}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial F}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
$$となる。これをもとの式に代入して、右辺を左辺に移項してくくると、
$$
\sum_{i=1}^3 \left( 2C \ddot{x}_i – \frac{\partial F}{\partial x_i} \right) \frac{\partial x_i}{\partial q_j} = 0 \quad (j=1,2,3)
$$すなわち、\(2C \ddot{x}_i = \partial F/\partial x_i \quad (i=1,2,3)\)となるから、示された。□

系に、\(x_i\)方向への無限小平行移動に対する対称性があるから、系２.７より、
$$
\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}= \frac{\partial K}{\partial \dot x_i} = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( m\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}^2/2 \right) = m \dot{x}_i
$$が保存するとして示された。□

系に、時間並進に対する対称性があるから、系２.８より、
$$
\sum_{i=1}^3 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \dot{x}_i – L = \left( m\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}^2 \right) -\left( m\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}^2/2 – V\right) = \left( m\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}^2/2 \right) + V = K+V
$$が保存するとして示された。□

系に、\(x_i\)方向を軸とする無限小空間回転に対する対称性があるから、系２.９より、
$$
\boldsymbol{e}_i \cdot \left\{ \boldsymbol{r} \times \left( \nabla_{\dot{\boldsymbol{r}}} L \right) \right\} = \boldsymbol{e}_i \cdot \left\{ \boldsymbol{r} \times (m/2) \left( \nabla_{\dot{\boldsymbol{r}}} \sum_{i=1}^3 x_i^2 \right) \right\} = \boldsymbol{e}_i \cdot \left\{ \boldsymbol{r} \times \left( m\dot{\boldsymbol{r}} \right) \right\}
$$が保存するとして示された。□

定理２.５より、系に時間並進対称性があるならば、物理量
$$
\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x} +\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \dot{y}+\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \dot{z}\right) – L = m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) -\left( \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) – V\right) = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) + V = K+V
$$が時間変化に対して保存する。ここで、この定数\(K+V\)の値を\(E\)とすると、\(K=\sum_{i=1}^N (m_i \dot{x_i}^2 /2) \)は平方和より非負であるから、たしかに運動する領域は\(K=E-V \ge 0\)、すなわち\(V \le E\)の範囲のみに限られる。□

点変換で対応する独立な座標系ならどんな一般化座標の取り方であっても、オイラー=ラグランジュ方程式が成り立って同じ運動を解として与えるので、代表して直交座標\(\boldsymbol{x}= (x_1, x_2, \dots, x_N)\)において成り立っていればよい。ここで、定理２.８で仮定した一般化座標\(\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0\)でのポテンシャルの勾配\(\nabla_{\boldsymbol{q}} V\)が\(\boldsymbol{0}\)であることは、
$$
\frac{\partial V}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^N \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j}=0
$$であることと、座標変換のヤコビ行列(\(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\)を並べた行列)が逆行列をもつことから、対応する直交座標での位置一般化座標\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0\)における\(\nabla_{\boldsymbol{x}} V\)が\(\boldsymbol{0}\)であることに等価である。
さて、直交座標によるラグランジアン\(K=\sum_{i=1}^N (m_i \dot{x_i}^2 /2) \)をオイラー=ラグランジュ方程式に入れると、
$$
m_i \ddot{x}_i = – \frac{\partial V}{\partial x_i}
$$とかけるので、\(\nabla_{\boldsymbol{x}} V|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0} = \boldsymbol{0}\)をふまえると、\(m_i \boldsymbol{\ddot{x}}|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0} = 0\)、すなわち\(\ddot{\boldsymbol{x}}|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0} =\boldsymbol{0}\)である。よって、たしかに位置\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0\)に速度ゼロで置かれた質点の加速度\(\ddot{\boldsymbol{x}} \)はゼロとなるから、この位置は平衡点である。□

平衡点\(\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0\)から\(q_i\)方向に微小\(\delta q_i\)だけずれた位置\(\boldsymbol{q}_0 + \delta q_i \boldsymbol{e}_i\)におけるポテンシャルは、テイラー展開で２次の微小量まで残すと、
$$
V|_{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0 + \delta q_i \boldsymbol{e}_i} = V_{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0} + \frac{\partial^2 V}{\partial q_i^2}|_{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0} (\delta q_i)^2
$$となる。\(L|_{{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0 + \delta q_i \boldsymbol{e}_i}}=K-V|{{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0 + \delta q_i \boldsymbol{e}_i}}\)について、オイラー=ラグランジュ方程式を計算すると、\(\frac{\partial^2 V}{\partial q_i^2}|_{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0} \ge 0\)ならば、変数\(q_i\)に対して単振動型の運動方程式、\(\frac{\partial^2 V}{\partial q_i^2}|_{\boldsymbol{q}=\boldsymbol{q}_0} \le 0\)ならば、変数\(q_i\)に対して指数関数的に増加する運動方程式が出てくるため、示される。□