ポアソン括弧とはなんなのか

第１章―ポアソン括弧とはなにか

こんにちは、管理人のturtleです。
本稿はあくまで管理人の備忘録として書いておりますが、解析力学を学びたい読者ならだれでも理解できる形を目指しております。本稿はこちらの子記事となっておりますので、よければ合わせてご覧ください。
では、いきなりですが、ポアソン括弧の話をしていきます。

１　ポアソン括弧の定義

ハミルトン力学で使う道具である「ポアソン括弧」は、「位相空間」と同じくらい、ハミルトン力学を特徴づける重要な道具で、量子力学でも応用する大事なものです。ただ、定義としては偏微分の項を書き換えただけで複雑ではないので、まずは定義を見てから、何に使えるのかを考えてみましょう。

定義１.１(ポアソン括弧の定義)
一般化座標\(\boldsymbol{q}\)、一般化運動量\(\boldsymbol{p}\)および時刻\(t\)の関数\(A(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)と\(B(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)について、
$$
\{A,B\} \equiv \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i} \right)
$$として、ポアソン括弧\(\{ A,B\}\)を定義する。

そう難しい定義ではないでしょう。
さて、ここからはポアソン括弧の使い道を考えていきますが、まずは親記事でも確認した次の系をご覧ください。

系１.２
一般化座標\(\boldsymbol{q}\)、一般化運動量\(\boldsymbol{p}\)および時刻\(t\)の関数\(A(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)について、以下が成り立つ。
$$
\frac{dA}{dt} = \{ A,H \} + \frac{\partial A}{\partial t}
$$

系１.２の証明

一般化座標\(\boldsymbol{q}\)、一般化運動量\(\boldsymbol{p}\)および時刻\(t\)の関数\(A(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)について、時間による全微分をすると、
$$
\frac{dA}{dt} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{d q_i}{d t} + \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{d p_i}{d t} \right) + \frac{\partial A}{\partial t} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial A}{\partial t} = \{ A,H \} + \frac{\partial A}{\partial t}
$$とかけるので示された。ただし、１つ目の等号は合成関数の微分、２つ目の等号は正準方程式、３つ目の等号はポアソン括弧の定義を用いている。□

これより、とくに関数\(A(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)\)が時刻\(t\)を直接の変数として含まない場合は、\(\frac{dA}{dt} = \{ A,H \} \)というように、時間微分をポアソン括弧だけでかけることになります。
また、ハミルトン力学で原理とした正準方程式もポアソン括弧で次のようにかくことができます。
$$
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} = \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial p_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} – \frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial p_i}{\partial p_j} \right) = \{ p_i,H \}
$$$$
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} = = \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial q_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} – \frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_i}{\partial p_j} \right) = \{ q_i,H \}
$$とりあえず、このように今まで扱ってきた数式の様々な部分をポアソン括弧の形式で書けることが分かりました。”記法の簡略化”というのは、一つの使い道であるようですね。

２　ポアソン括弧の数学的性質

そのほかにもポアソン括弧の使い道はたくさんありますが、その前に、このように定義したポアソン括弧の数学的性質を見ていきます。

定理１.３
ポアソン括弧において、以下が成立する。
(i)反対称性　\(\{ A,B \} = -\{ B,A \}\)
(ii)双線形性　\(\{ \alpha A+\beta B,C \} = \alpha \{ A,C \} + \beta \{ B,C \} \quad \{ A, \beta B+\gamma C \} = \beta \{ A,B \} + \gamma \{ A,C \}\)
(iii)ライプニッツ則　\( \{ A,BC \} = \{ A,B \}C+B\{ A,C \} \quad \{ AB,C \} = \{ A,C \}B+A\{ B,C \} \)
(iv)ヤコビ恒等式　\( \{ A,\{ B,C \} \}+\{ B,\{ C,A \} \}+\{ C,\{ A,B \} \} \)

定理１.３の証明

(i)の証明
定義より、以下のように変形できるので示される。
$$
\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} = – \left( \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial p_i} – \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_i} \right) = -\{B, A\}
$$(ii)の証明
第１式は、定義と微分の線形性より、以下のように変形できるので示される。
\begin{align*}
& \{\alpha A + \beta B, C\} = \frac{\partial (\alpha A + \beta B)}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial (\alpha A + \beta B)}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} = \left( \alpha \frac{\partial A}{\partial q_i} + \beta \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) \frac{\partial C}{\partial p_i} – \left( \alpha \frac{\partial A}{\partial p_i} + \beta \frac{\partial B}{\partial p_i} \right) \frac{\partial C}{\partial q_i} \\[4px]
&= \alpha \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) + \beta \left( \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) = \alpha\{A, C\} + \beta\{B, C\}
\end{align*}第２式も同様に計算すると示される。
(iii)の証明
第１式は、定義と積の微分より、以下のように変形できるので示される。
\begin{align*}
&\{A, BC\} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial (BC)}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial (BC)}{\partial q_i} = \frac{\partial (BC)}{\partial p_i} = \frac{\partial B}{\partial p_i}C + B\frac{\partial C}{\partial p_i} \\[4px]
&= \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) C + B \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial C}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial C}{\partial q_i} \right) = \{A, B\}C + B\{A, C\}
\end{align*}(iv)の証明
左辺を計算すると出てくる項は、\(A\)の2階微分が含まれる項、\(B\)の2階微分が含まれる項、\(C\)の2階微分が含まれる項に分けられる。ここで、\(C\)の2階微分が含まれる項だけに注目すると、第１項からの寄与
$$
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial p_i \partial p_j} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial q_i \partial p_j} \right)
$$と第２項からの寄与
$$
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \left( – \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial p_i \partial p_j} + \frac{\partial B}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_j} \frac{\partial^2 C}{\partial q_i \partial p_j} \right)
$$は打ち消し合ってゼロになるため、\(C\)の2階微分が含まれる項は消える。同様に、\(A\)の2階微分が含まれる項、\(B\)の2階微分が含まれる項も消えるため、\(\{A, \{B, C\}\} + \{B, \{C, A\}\} + \{C, \{A, B\}\} = 0\)となることが示された。□

いまみたことは、実際の計算で大いに用いることになるので、覚えておいてください。

第２章―ポアソン括弧の物理的性質

すこしだけ、物理から離れていましたが、いまからは戻って、ポアソン括弧\(\{A,B\}\)の物理的意味を見ていきます。さてポアソン括弧ですが、代表的な物理的解釈としては、

というようなものがあります。順にみていきましょう。

１　物理的性質①―無限小変換による変化の割合

まずは次のようにして、物理量を生成子とする無限小変換を定義します。

定義２.１(物理量を生成子とする無限小変換の定義)
微小なパラメータ\(\epsilon\)に対して、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)が
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial X}{\partial p_i} \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial X}{\partial q_i}
$$のように変化する無限小変換を、ある物理量\(X(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換と定義する。

なんでこんなものを定義するのかと疑問に思うかもしれませんが、この形式化によって

• 物理量を単なる測定値というだけでなく「空間に対する操作」としても扱えるようになる
• 量子力学では物理量が「演算子」として扱われるが、この移行がスムーズになる

といった目的があります。例としていくつか、物理量を生成子とする無限小変換の例を出してみましょう。

【運動量\(p_i\)を生成子とする無限小変換】
運動量\(p_i\)を生成子とする無限小変換で、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)はそれぞれ
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial p_i}{\partial p_i} = \epsilon \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial p_i}{\partial q_i} = 0
$$のように変化しますから、\(q_i\)方向への無限小平行移動に対応しますね。このため、運動量は空間並進の生成子ともよばれます。

【角運動量の\(z\)成分\(L_z\)を生成子とする無限小変換】
\(i\)番目の粒子の３次元直交座標ベクトルを\(\boldsymbol{r}_i=(x_i,y_i,z_i)\)、対応する運動量を\(\boldsymbol{p}_i=(p_{x,i},p_{y,i},p_{z,i})\)とすると、\(L_z\)を生成子とする無限小変換で、これらはそれぞれ
$$
\delta x_i = \epsilon \frac{\partial L_z}{\partial p_{x,i}} = \epsilon \frac{\partial}{\partial p_{x,i}} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = -\epsilon y_i
$$$$
\delta y_i = \epsilon \frac{\partial L_z}{\partial p_{y,i}} = \epsilon \frac{\partial}{\partial p_{y,i}} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = \epsilon x_i
$$$$
\delta z_i = \epsilon \frac{\partial L_z}{\partial p_{z,i}} = \epsilon \frac{\partial}{\partial p_{z,i}} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = 0
$$$$
\delta p_{x,i} = -\epsilon \frac{\partial L_z}{\partial x_i} = -\epsilon \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = -\epsilon p_{y,i}
$$$$
\delta p_{y,i} = -\epsilon \frac{\partial L_z}{\partial y_i} = -\epsilon \frac{\partial}{\partial y_i} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = \epsilon p_{x,i}
$$$$
\delta p_{z,i} = -\epsilon \frac{\partial L_z}{\partial z_i} = -\epsilon \frac{\partial}{\partial z_i} \left( \sum_{j=1}^N x_j p_{y,j} – y_j p_{x,j} \right) = 0
$$のように変化します。これを行列形式で表現すると、微小量\(\epsilon\)に関する１次近似\(\cos\epsilon \approx 1, \sin\epsilon \approx \epsilon\)を用いて、
$$
\begin{pmatrix} x_i+\delta x_i \\ y_i+\delta y_i \\ z_i+ \delta z_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\epsilon & 0 \\ \epsilon & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} \cos\epsilon & -\sin\epsilon & 0 \\ \sin\epsilon & \cos\epsilon & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i \end{pmatrix}
$$$$
\begin{pmatrix} p_{x,i}+ \delta p_{x,i} \\ p_{y,i}+ \delta p_{y,i} \\ p_{z,i}+ \delta p_{z,i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\epsilon & 0 \\ \epsilon & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{x,i} \\ p_{y,i} \\ p_{z,i} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} \cos\epsilon & -\sin\epsilon & 0 \\ \sin\epsilon & \cos\epsilon & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{x,i} \\ p_{y,i} \\ p_{z,i} \end{pmatrix}
$$となっていますが、これは各粒子の座標と運動量のベクトルがともに、\(z\)方向を軸として微小角 \(\epsilon\)だけ回転することを意味しますね。このため、角運動量は空間回転の生成子ともよばれます。

【ハミルトニアン\(H\)を生成子とする無限小変換】
ハミルトニアン\(H\)を生成子とする無限小変換で、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)はそれぞれ
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial H}{\partial p_i} \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial H}{\partial q_i}
$$のように変化しますが、これはハミルトンの正準方程式にしたがう変化ですから、微小時間\(\epsilon=\delta t\)に対して、
$$
\delta q_i = \frac{d q_i}{dt} \delta t \qquad \delta p_i = \frac{d p_i}{dt} \delta t
$$とかけます。このため、ハミルトニアンは時間発展の生成子ともよばれます。

さてこれくらいやれば、「物理量を生成子とする無限小変換」のイメージはできたでしょうか。ここで、次の定理が成り立ちます。

系２.２
物理量\(B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換が、定義２.１にしたがって定義されるとすると、この変換による、任意の物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta A\)は、\(\delta A= \epsilon \{A, B\}\)とかける。

系２.２の証明

物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta A\)を計算すると、以下のように示される。
\begin{align*}
\delta A &= A(\boldsymbol{q} + \delta\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p} + \delta\boldsymbol{p},t) – A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t) = \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial A}{\partial p_i} \delta p_i \right) \\
&= \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \left( \epsilon \frac{\partial B}{\partial p_i} \right) + \frac{\partial A}{\partial p_i} \left( -\epsilon \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) \right) = \epsilon \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} – \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) = \epsilon \{A, B\}
\end{align*}ただし、２つめの等号は多変数関数のテイラー展開の１次近似、３つ目の等号は定義２.１、５つ目の等号はポアソン括弧の定義を用いている。□

これがポアソン括弧の解釈として紹介したものの１つ目

です。ポアソン括弧で計算される量\(\{A, B\}\)は、\(B\)を生成子とする無限小変換に対する、\(A\)という量の変化の割合そのものを表しています。

２　物理的性質②―保存量の判定

まず、次の定理が成り立ちます。

定理２.３
時間\(t\)に直接依存しない任意の物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)に対して、微小の時間発展\(\delta t\)における物理量\(A\)の変化量は\(\delta A= \delta t \{A, H\}\)とかける。

定理２.３の証明

定義２.１にしたがって、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)を
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q_i}{dt} \epsilon \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial H}{\partial q_i} = \frac{d p_i}{dt} \epsilon
$$のように変化させる変換を、ハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換と定義すると、これは先にも述べたように、座標\(q_i\)と運動量\(p_i\)を微小時間\(\epsilon\)だけ時間発展させる変換である。したがって、物理量\(A\)が時間\(t\)に直接依存しないならば、この変換によって、物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)も微小時間\(\epsilon\)だけ時間発展する。
一方で、系２.２の結果より、この変換による物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)の変化量\(\delta A\)は、\(\delta A= \epsilon \{A, H\}\)とかけるので、示された。□

ちなみに、この定理自体は第１章でみた系１.２からも明らかなのですが、ここでは「物理量を生成子とする無限小変換」のイメージを育みたかったため、この証明方法にしました。
このことから、直ちに次のことがいえます。

系２.４
時間\(t\)に直接依存しない任意の物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)に対して、\(\{A, H\} = 0\)ならば物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)は時間変化に対して保存する。

これがポアソン括弧の解釈として紹介したものの２つ目

に非常に深く関係します。というのは、ハミルトニアンとのポアソン括弧をとった結果がゼロであるか否かによって、物理量が保存するか否かを判定できるというわけですからね。
ところでこの結果について、どこかネーターの定理に似ている気がしませんか。実はラグランジュ力学で扱ったネーターの定理と、いまみた定理２.４はまったく同じことを言っています。確認してみましょう。

次の定理２.５は、ラグランジュ力学で扱ったネーターの定理をハミルトン力学にもってきたものです。

定理２.５(ネーターの定理)
次の(Ⅰ)と(Ⅱ)は同値である。
(Ⅰ)　時間\(t\)に直接依存しない任意の物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換が、定義２.１にしたがって定義されるとすると、この変換によるハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)が不変である。
(Ⅱ)　時間\(t\)に直接依存しない任意の物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)が、時間変化に対して保存される。

ラグランジュ力学で扱ったネーターの定理をハミルトン力学にもってくると、定理２.５になる証明

ラグランジュ力学で扱ったネーターの定理によると、ある変換によるラグランジアン\(L\)の変分\(\delta L\)が、ある関数\(J\)の全微分\(dJ/dt\)でかけるならば、物理量
$$
\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) – J = \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i – J
$$は保存する。この保存量が微小パラメータ\(\epsilon\)を用いて\(\epsilon G\)とかけるとして、これと正準方程式のみを前提にした議論で定理２.５が証明できることを示す。まずハミルトニアン\(H\)の変分\(\delta H\)は、
\begin{align*}
\delta H &= \sum_{i=1}^N (\delta p_i \dot{q}_i + p_i \delta \dot{q}_i) – \delta L = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i \right) + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i) – \delta L \\
&= \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N p_i \delta q_i – J \right) + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i) = \epsilon \frac{dG}{dt} + \sum_{i=1}^N (\dot{q}_i \delta p_i – \dot{p}_i \delta q_i)
\end{align*}とかける。ただし、１番目の等号はハミルトニアンの定義\(H = \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i – L\)、２番目の等号は積の微分\( \frac{d}{dt}(p_i \delta q_i)=p_i \delta \dot{q}_i +\dot{p}_i \delta q_i \)、３番目の等号は\(\delta L\)がある関数\(J\)の全微分\(dJ/dt\)でかけること、４番目の等号は保存量が微小パラメータ\(\epsilon\)を用いて\(\epsilon G\)とかけることを用いた。
これより、座標と運動量の変分が、物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換にしたがう、つまり、
$$
\delta q_i = \epsilon \frac{\partial G}{\partial p_i} \qquad \delta p_i = -\epsilon \frac{\partial G}{\partial q_i}
$$を満たしているとき、
$$
\epsilon \frac{dG}{dt} = \epsilon \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial G}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial G}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial G}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial G}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) = -\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \delta p_i \right) = -\delta H
$$となるといえる。ただし、２つ目の等号はハミルトンの正準方程式、３つ目の等号は物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換の定義を用いた。
ここから、ハミルトニアン\(H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)が変換に対して不変であること、つまり\(\delta H=0\)と、物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)が時間変化に対して保存されること、つまり\(dG/dt=0\)は同値であるから示された。□

この定理２.５はこれとは別に、ポアソン括弧を使うと次のように、まさに一発で証明できます。これを見ると、ポアソン括弧はネーターの定理とも繋がっていることがよく確認できますね。

定理２.５の証明

(Ⅰ)の命題「物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)を生成子とする無限小変換に対してハミルトニアンが不変である」は、系２.２より、その変分\(\delta H = \epsilon \{H, G\}\)がゼロである、すなわち\(\{H, G\} = 0\)であると表せる。
また、(Ⅱ)の命題「物理量\(G(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})\)が保存される」は、定理２.４より、\(\{G, H\} = 0\)であると表せる。
ここで定理１.３より、ポアソン括弧は反対称性\(\{H, G\} = -\{G, H\}\)を満たすので、\(\{H, G\} = 0\)と\(\{G, H\} = 0\)は同値であるとして示された。□

３　物理的性質➂―変換の独立性の判定

まず、次の定理が成り立ちます。

定理２.６
物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換が、定義２.１にしたがってそれぞれ定義されるとすると、次の(Ⅰ)と(Ⅱ)は同値である。
(Ⅰ)　\(\{A, B\} = 0\)である。
(Ⅱ)　２つの物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換が独立していて干渉しない、つまり、任意の物理量\(F\)に対してこれら２つの変換を連続して作用させたときに、その作用させる順序に結果が一切依存しない。

定理２.６の証明

任意の物理量\(F\)に対して、\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta F_1\)は\(\delta F_1= \epsilon_A\epsilon_B \{ \{F, A\},B \}\)とかける。同様に、\(B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量\(\delta F_2\)は\(\delta F_2= \epsilon_A\epsilon_B \{ \{F, B\},A \}\)とかける。ここでもし、これら２つの変換を連続して作用させたときに、その作用させる順序に結果が一切依存しないならば、
$$
\delta F_1-\delta F_2=\epsilon_A\epsilon_B \left( \{ \{F, A\},B \} – \{ \{F, B\},A \} \right)=\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}=0
$$とかける。ただし、２つ目の等号は、定理１.３(Ⅳ)のヤコビ恒等式を用いている。したがって、(Ⅱ)の条件は、任意の物理量\(F\)に対して\( \{F, \{A, B\}\}=0\)が成り立つこと、つまり、\(\{A, B\} = 0\)が成り立つことに等価であるから示された。□

これがポアソン括弧の解釈として紹介したものの３つ目

に非常に深く関係します。変換が独立しているとは、定理２.６で述べたように、２つの変換を連続して作用させたときにその作用させる順序に結果が一切依存しないということです。
分かりやすい例を使ってイメージしましょう。

【２つの変換が独立している例】
\(x\)方向の運動量\(p_x\)を生成子とする無限小変換は\(x\)方向への微小な平行移動、\(y\)方向の運動量\(p_y\)を生成子とする無限小変換は\(y\)方向への微小な平行移動であって、
$$
\{p_x,p_y\}=\left( \frac{\partial p_x}{\partial x} \frac{\partial p_y}{\partial p_x} – \frac{\partial p_x}{\partial p_x} \frac{\partial p_y}{\partial x} \right) + \left( \frac{\partial p_x}{\partial y} \frac{\partial p_y}{\partial p_y} – \frac{\partial p_x}{\partial p_y} \frac{\partial p_y}{\partial y} \right) + \left( \frac{\partial p_x}{\partial z} \frac{\partial p_y}{\partial p_z} – \frac{\partial p_x}{\partial p_z} \frac{\partial p_y}{\partial z} \right) = 0
$$であることから、この２つの変換は独立しています。
実際「右に1歩進んでから、前に1歩進む」のも、「前に1歩進んでから、右に1歩進む」のも、最終的な立ち位置は同じですよね。

【２つの変換が独立していない例】
\(x\)方向の角運動量\(L_x\)を生成子とする無限小変換は\(x\)方向を軸とした微小な回転移動、\(y\)方向の角運動量\(L_y\)を生成子とする無限小変換は\(y\)方向を軸とした微小な回転移動であって、\(L_x = y p_z – z p_y,L_y = z p_x – x p_z\)より、
$$
\{L_x,L_y\}=\left( \frac{\partial L_x}{\partial x} \frac{\partial L_y}{\partial p_x} – \frac{\partial L_x}{\partial p_x} \frac{\partial L_y}{\partial x} \right) + \left( \frac{\partial L_x}{\partial y} \frac{\partial L_y}{\partial p_y} – \frac{\partial L_x}{\partial p_y} \frac{\partial L_y}{\partial y} \right) + \left( \frac{\partial L_x}{\partial z} \frac{\partial L_y}{\partial p_z} – \frac{\partial L_x}{\partial p_z} \frac{\partial L_y}{\partial z} \right) = x p_y – y p_x = L_z \ne0
$$であることから、この２つの変換は独立していません。
実際にスマホを持って試してみてください。画面を上にした状態から\(x\)軸周りに90度回転させて\(y\)軸周りに90度回転させる結果と、その順番を逆にした結果では、スマホの向きは全く異なっていることが確認できますよ。

ところで、\(\{L_x,L_y\}=L_z\)となっていることをふまえると、直感的に次の定理が正しいのではないか、と思えてきませんか。実際に確かめてみましょう。

定理２.７
物理量\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)を生成子とする無限小変換が、定義２.１にしたがってそれぞれ定義されるとする。
ここで、任意の物理量\(F\)に対してこれら２つの変換を連続して作用させたときに、その作用させる順序によって生じる結果のズレを埋めるための変換は、ポアソン括弧\(\{A, B\}\)を生成子とする無限小変換である。

定理２.７の証明

任意の物理量\(F\)に対して、\(A(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), B(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)\)の順に、それぞれを生成子とする無限小変換を作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量を\(\delta F_1\)、この逆の順に作用させたときの、\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量を\(\delta F_2\)とすると、定理２.６の証明と同様にして、
$$
\delta F_1-\delta F_2=\epsilon_A\epsilon_B \left( \{ \{F, A\},B \} – \{ \{F, B\},A \} \right)=\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}
$$とかける。ここで、\(\epsilon_A\epsilon_B \{F, \{A, B\}\}\)は、物理量\(\{A, B\}\)を生成子とする無限小変換を作用させたときの\(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p},t)\)の変化量にほかならないので、示された。□

４　物理的性質④―正準変換かどうかの判定

さて、最後にポアソン括弧の解釈として紹介したものの４つ目

ですが、これは正準変換についての知識が必要なので、こちらで説明しています。
以上紹介したように、ポアソン括弧は驚くほどさまざまに使いどころがありますので、よく理解してみてください。

---

以上、ポアソン括弧を整理してみました。お疲れさまでした。