ネーターの定理と保存則

まず、一般化座標が\(q_i \to q_i + \delta q_i\)と変化したときのラグランジアン \(L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)\)の変分\(\delta L\)を、テイラー展開の１次の項まで書き下す。ここで、極限の定義より、
$$
\delta \left( \frac{d}{dt} \boldsymbol{q}(t) \right) = \delta\dot{\boldsymbol{q}}(t) = \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{\left( \boldsymbol{q}(t_2)+\delta \boldsymbol{q}(t_2) \right) – \left( \boldsymbol{q}(t_1)+\delta \boldsymbol{q}(t_1) \right)}{t_2-t_1} – \frac{\boldsymbol{q}(t_2) – \boldsymbol{q}(t_1)}{t_2-t_1} \right) = \frac{d}{dt}\delta \boldsymbol{q}(t)
$$となるから、変分の時間微分と時間微分の変分が等しいことに注意すると、
$$
\delta L = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{d}{dt}(\delta q_i) \right] = \sum_{i=1}^N \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right)
$$となる。ただし、２つ目の等号は系が現実の物理法則に従って運動している、つまり、オイラー=ラグランジュ方程式を満足すること、３つ目の等号は大カッコ\([\quad]\)の中身に積の微分公式を用いた。

ここで、いま定理２.２.８の仮定より、ラグランジアンの変分\(\delta L\)がある関数\(J\)の時間による全微分でかけることを用いると、
$$
\frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right) = \frac{d}{dt} J
$$となるので、移項して、
$$
\frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i – J \right) = 0
$$とかくことができる。ある量の時間微分がゼロになるということは、その量が時間的に変化しない定数であることを意味するため、示された。□

一般化座標の\(k\)番目\(q_k\)方向への無限小変換は、\(\boldsymbol{q} \to \boldsymbol{q} + \epsilon \boldsymbol{e}_k \)と表すことができる。ここで系２.２.９の仮定より、この変換に対してラグランジアン\(L\)が変化しない、つまりラグランジアンの変分\(\delta L\)がゼロであるので、定理２.２.８の結果より、
$$
\sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i – J = \epsilon \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}
$$は保存する。\(\epsilon\)は任意の定数であるから、これを\(\epsilon\)で割った\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\)も保存するとして、示された。□

時間を微小な定数\(\epsilon\)だけ進める無限小変換は、\(\boldsymbol{q} \to \boldsymbol{q} + \epsilon \dot{\boldsymbol{q}} \)と表すことができる。
ここで系２.２.９の仮定より、この変換に対してラグランジアン\(L\)が時間並進対称性をもつ、つまりラグランジアンが時間\(t\)を直接の変数としては含まないといえるので、\(\frac{\partial L}{\partial t}=0\)である。これより、ラグランジアン\(L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)\)を時間\(t\)で全微分すると、合成関数の微分法を用いて、
$$
\frac{dL}{dt} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t} = \left[ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i \right) \right]
$$とかける。一方、ラグランジアンの変分\(\delta L\)は
$$
\delta L = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} (\dot{q}_i \epsilon) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\ddot{q}_i \epsilon) \right) = \left[ \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i \right) \right] \epsilon
$$とかける。２式の大カッコ\([\quad]\)の中身は同じであるので、代入して整理すると、
$$
\delta L = \frac{dL}{dt} \epsilon = \frac{d}{dt} (\epsilon L)
$$というように、ラグランジアンの変分\(\delta L\)が関数の時間による全微分でかけるから、定理２.２.８の結果より、
$$
\sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i – J = \epsilon \left\{ \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i \right) – L \right\}
$$は保存する。\(\epsilon\)は任意の定数であるから、これを\(\epsilon\)で割った\( \left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i \right) – L \)も保存するとして、示された。□

ある任意の回転軸の周りに微小な角度だけ回転させる無限小変換は、\(\boldsymbol{q}_i \to \boldsymbol{q}_i + \delta \boldsymbol{\theta} \times \boldsymbol{q}_i \)と表すことができる。ここで系２.２.11の仮定より、この変換に対してラグランジアン\(L\)が変化しない、つまりラグランジアンの変分\(\delta L\)がゼロであるので、定理２.２.８の結果より、
$$
\sum_{i=1}^N \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i – J = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^3 p_ij \delta q_ij = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{p}_i \cdot \delta \boldsymbol{q}_i = \sum_{i=1}^N \boldsymbol{p}_i \cdot \left( \delta \boldsymbol{\theta} \times \boldsymbol{q}_i \right) = \delta \boldsymbol{\theta} \cdot \left( \sum_{i=1}^N \boldsymbol{q}_i \times \boldsymbol{p}_i \right)
$$は保存する。\(\delta \boldsymbol{\theta}\)は任意の定ベクトルであるから、\(\sum_{i=1}^N \boldsymbol{q}_i \times \boldsymbol{p}_i\)も保存するとして、示された。□