スカラーポテンシャル

位置\(\boldsymbol{r_1}\),\(\boldsymbol{r_2}\),…,\(\boldsymbol{r_n}\)に、点電荷\(q_1\),\(q_2\),…,\(q_n\)が静止しているとして、\(q_1\),\(q_2\),…\(q_n\)がそれぞれ単独で作る電場を\(\boldsymbol{E}_1\),\(\boldsymbol{E}_2\),…\(\boldsymbol{E}_n\),…とすると、位置\(\boldsymbol{r}\)における電場は
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\sum_{1\le i\le n} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r_i}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r_i}|^3}
$$とかける。この電荷分布が形成されている空間において、無限遠\(\boldsymbol{r}_\infty\)から各位置\(\boldsymbol{r}\)へ任意の経路で単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事は、
$$
\phi(\boldsymbol{r})= -\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r} = -\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \left( \sum_{1\le i\le n} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \right) \cdot d\boldsymbol{r} = -\sum_{1\le i\le n} \displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}
$$とかくことができる。ここで、\(\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}\)は経路に依存しないため、位置\(\boldsymbol{r}\),\(\boldsymbol{r}_i\)を結んで無限遠までのびる直線経路での線積分を考えると、電荷\(q_i\)からの距離\(r=|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|\)を被積分変数にとって、
$$
\displaystyle \int_{\boldsymbol{r}_\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r} = \displaystyle \int_{\infty}^{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr =- \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|}
$$と計算することができる。これをもとの式に代入すると、
$$
\phi(\boldsymbol{r})= \sum_{1\le i\le n} \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|}
$$よって、連続的な電荷分布においては、点電荷\(\rho(\boldsymbol{r’}) dV’\)の集まりとみなせるので、和は積分に書き換えて次が成り立つことが分かる。
$$
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle \int_{V’} \frac{\rho(\boldsymbol{r’})dV’}{4\pi\epsilon_0|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|}
$$□

十分小さい\(\Delta x\)に対して、位置\((x,y,z)\)から位置\((x+\Delta x,y,z)\)へ単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事\(\Delta W\)は、\(\Delta W \simeq -\boldsymbol{E}(x,y,z) \cdot \Delta x \boldsymbol{e}_x = – E_x(x,y,z) \Delta x\)とかくことができる。
電位の定義より、位置\((x,y,z)\)から位置\((x+\Delta x,y,z)\)へ単位電荷を動かすときの、電気的な力に釣り合わせる外力の仕事\(\Delta W\)は、位置\((x,y,z)\)を基準とした位置\((x+\Delta x,y,z)\)の電位\(\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)\)に等しいから、
$$
E_x \simeq -\frac{\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)}{\Delta x}
$$等号は\(\Delta x \rightarrow 0\)のときに成立し、\(E_x = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\)となる。
\(y\)方向や\(z\)方向にも同様に、\(E_y = -\frac{\partial \phi}{\partial y}\)、\(E_z = -\frac{\partial \phi}{\partial z}\)が成立するので、以下が成立する。
$$
\boldsymbol{E(\mathbf{r})} = – \nabla \phi(\mathbf{r})
$$□